Questão 4
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Dado:
F(x)=\left\{\begin{array}{lr} 0 & x<-2 \\\\ 0.25 x+0.5 & -2 \leq x<2 \\\\ 1 & 2 \leq x \end{array}\right.
Calcule \mathrm{P}(-1<\mathrm{X}<=1)
Resposta:

Passo 1

O enunciado dá a função distribuição acumulada F de uma variável aleatória X:
F(x)=\left\{\begin{array}{lr} 0 & x<-2 \\[4pt] 0,25\,x+0,5 & -2 \le x<2 \\[4pt] 1 & 2 \le x \end{array}\right.
A pergunta é: calcular \mathrm{P}(-1<\mathrm{X}\le 1).]

Passo 2

Vamos lembrar o que F significa: por definição,
F(x)=\mathrm{P}(X\le x).
Dessa definição segue uma identidade muito útil, válida para qualquer a<b:
\mathrm{P}(a<X\le b)=F(b)-F(a).
Explicação curta do porquê: F(b)=\mathrm{P}(X\le b) conta todas as chances até b, e F(a)=\mathrm{P}(X\le a) conta todas as chances até a; subtraindo tiramos exatamente a probabilidade dos valores estritamente maiores que a e até b, isto é, \mathrm{P}(a<X\le b).

Passo 3

Aplicando a fórmula com a=-1 e b=1 obtemos
\mathrm{P}(-1<X\le 1)=F(1)-F(-1).
Agora devemos avaliar F(1) e F(-1) usando a expressão correta do F conforme o intervalo onde cada ponto se encontra.

Passo 4

Verificamos que 1 está no intervalo [-2,2), então usamos F(x)=0,25\,x+0,5. Calculando:
F(1)=0,25\cdot 1 + 0,5 = 0,25 + 0,5 = 0,75.

Passo 5

Verificamos que -1 também está no intervalo [-2,2), então usamos a mesma expressão. Calculando:
F(-1)=0,25\cdot(-1) + 0,5 = -0,25 + 0,5 = 0,25.

Passo 6

Subtraímos para obter a probabilidade pedida:
\mathrm{P}(-1<X\le 1)=F(1)-F(-1)=0,75-0,25=0,50.
Interpretação rápida: a probabilidade de X cair entre -1 (excluído) e 1 (incluído) é 0,50, ou seja, 50\%.

Resposta

0,5

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