O tempo de uma tarefa é medido em horas, sendo este um processo de Poisson em que historicamente há 3 execuções a cada hora. Determine qual a probabilidade de que seja usado mais de 0,5 horas para 2 execuções da atividade.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Informação: o tempo é medido em horas e o processo é um processo de Poisson com taxa média de
execuções por hora. - Informação: queremos o tempo necessário para ocorrerem 2 execuções da atividade (ou seja, até o segundo evento). Denotemos esse tempo por
. - Pergunta: determinar a probabilidade de que seja usado mais de
horas para obter 2 execuções, isto é calcular .
Passo 2
Escolha do método e por quê: há duas maneiras naturais e equivalentes de encarar isso (vou fazer as duas rapidamente, porque entender ambas é útil na prova).
- Método A (contagem Poisson): usar a propriedade de que, num processo de Poisson, o número de eventos em um intervalo
é . Observação chave: ocorre exatamente quando, no intervalo , houve menos de eventos. Esse método evita integrais e é direto. Vou usá‑lo como principal. - Método B (soma de exponenciais / Erlang): o tempo até o
-ésimo evento tem distribuição Erlang/Gamma com parâmetros e . Dá a mesma resposta, e eu explico também a relação.
Escolhi o Método A porque é mais simples computacionalmente e típico em provas curtas.
Passo 3
Explicando a ideia do Método A (passo a passo didático):
- Em um processo de Poisson com taxa
, o número de eventos em tempo é . Isso significa que
- Agora observe: o evento “
” (o tempo até o 2.º evento é maior que ) é equivalente ao evento “ ” (em horas ocorreram 0 ou 1 eventos). Então podemos escrever
- Substituindo as probabilidades de Poisson obtemos a fórmula geral para
:
Comentário: essa mesma fórmula vem da distribuição Erlang com
, cuja função sobrevivência é
.
Passo 4
Aplicando os valores do problema:
e
. Primeiro calculemos o produto
:
Agora usamos a fórmula do passo anterior:
Passo 5
Cálculo numérico e interpretação:
- O valor de
é aproximadamente . - Multiplicando por
obtemos
Arredondando para quatro casas decimais, a probabilidade é aproximadamente
. Isso significa que há cerca de
de chance de que demore mais de meia hora para ocorrerem duas execuções.