O tempo de uma tarefa é medido em horas, sendo este um processo de Poisson em que historicamente há 3 execuções a cada hora. Determine qual a probabilidade de que seja usado mais de 0,5 horas para 2 execuções da atividade.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Informação: o tempo é medido em horas e o processo é um processo de Poisson com taxa média de \lambda=3 execuções por hora.
  • Informação: queremos o tempo necessário para ocorrerem 2 execuções da atividade (ou seja, até o segundo evento). Denotemos esse tempo por T.
  • Pergunta: determinar a probabilidade de que seja usado mais de 0,5 horas para obter 2 execuções, isto é calcular \mathbb{P}(T>0,5).

Passo 2

Escolha do método e por quê: há duas maneiras naturais e equivalentes de encarar isso (vou fazer as duas rapidamente, porque entender ambas é útil na prova).
  • Método A (contagem Poisson): usar a propriedade de que, num processo de Poisson, o número de eventos em um intervalo [0,t] é \mathrm{Poisson}(\lambda t). Observação chave: T>t ocorre exatamente quando, no intervalo [0,t], houve menos de 2 eventos. Esse método evita integrais e é direto. Vou usá‑lo como principal.
  • Método B (soma de exponenciais / Erlang): o tempo até o k-ésimo evento tem distribuição Erlang/Gamma com parâmetros k e \lambda. Dá a mesma resposta, e eu explico também a relação.
    Escolhi o Método A porque é mais simples computacionalmente e típico em provas curtas.

Passo 3

Explicando a ideia do Método A (passo a passo didático):
  • Em um processo de Poisson com taxa \lambda, o número de eventos em tempo t é \displaystyle N(t)\sim\text{Poisson}(\lambda t). Isso significa que
\mathbb{P}(N(t)=n)=\frac{(\lambda t)^{n} e^{-\lambda t}}{n!}\quad\text{para }n=0,1,2,\dots
  • Agora observe: o evento “ \,T>t\,” (o tempo até o 2.º evento é maior que t) é equivalente ao evento “ \,N(t)\le 1\,” (em t horas ocorreram 0 ou 1 eventos). Então podemos escrever
\mathbb{P}(T>t)=\mathbb{P}(N(t)\le 1)=\mathbb{P}(N(t)=0)+\mathbb{P}(N(t)=1).
  • Substituindo as probabilidades de Poisson obtemos a fórmula geral para k=2:
\mathbb{P}(T>t)=e^{-\lambda t}\left(1+\lambda t\right).
Comentário: essa mesma fórmula vem da distribuição Erlang com k=2, cuja função sobrevivência é e^{-\lambda t}\sum_{n=0}^{1}\dfrac{(\lambda t)^n}{n!}.

Passo 4

Aplicando os valores do problema: \lambda=3 e t=0,5. Primeiro calculemos o produto \lambda t:
\lambda t = 3 \cdot 0,5 = 1,5.
Agora usamos a fórmula do passo anterior:
\mathbb{P}(T>0,5)=e^{-\lambda t}\left(1+\lambda t\right)=e^{-1,5}\left(1+1,5\right)=2,5\,e^{-1,5}.

Passo 5

Cálculo numérico e interpretação:
  • O valor de e^{-1,5} é aproximadamente 0,22313016.
  • Multiplicando por 2,5 obtemos
2,5\cdot 0,22313016 \approx 0,5578254.
Arredondando para quatro casas decimais, a probabilidade é aproximadamente 0,5578. Isso significa que há cerca de 55{,}78\% de chance de que demore mais de meia hora para ocorrerem duas execuções.

Resposta

\mathbb{P}(T>0,5)=2,5\,e^{-1,5}\approx 0,5578

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