Questão 1 - Os resultados de uma pesquisa censitária para uma localidade foram os seguintes: 20 % das mulheres não tinham filhos, 30 % tinham um filho, 30 %, dois filhos, e os restantes se dividiam igualmente em 3 e 4 filhos. Calcule a variância do número de filhos. R: 1,44.

Passo 1

Beleza, vamos começar do zero. O enunciado diz que, em uma pesquisa, 20 % das mulheres não têm filhos, 30 % têm 1 filho, 30 % têm 2 filhos e o restante (20 %) se divide igualmente entre 3 e 4 filhos (ou seja, 10 % cada).
O conteúdo aqui é Estatística – mais precisamente, cálculo de variância de uma variável aleatória discreta. Para achar a variância, vamos precisar de dois “pilares”:
  1. A média (esperança) E[X].
  2. A média dos quadrados E[X^2].
    Depois, usamos a fórmula
Var(X)=E[X^2]-l(E[X]r)^2

Passo 2

Primeiro, a gente calcula a esperança (média) E[X]. Lembra que esperança é como uma média ponderada dos valores, usando as probabilidades. A fórmula é
E[X]=sumi xi,pi
Aqui:
x0=0 com p0=0,2,
x1=1 com p1=0,3,
x2=2 com p2=0,3,
x3=3 com p3=0,1,
x4=4 com p4=0,1.
Então
E[X]=0cdot0,2+1cdot0,3+2cdot0,3+3cdot0,1+4cdot0,1 =0+0,3+0,6+0,3+0,4 =1,6

Passo 3

Agora a média dos quadrados, E[X^2]. A ideia é a mesma, só que usando xi^2:
E[X^2]=sumi xi^2,pi =0^2cdot0,2+1^2cdot0,3+2^2cdot0,3+3^2cdot0,1+4^2cdot0,1
Calculando cada pedaço:
0,
  • 1cdot0,3=0,3,
  • 4cdot0,3=1,2,
  • 9cdot0,1=0,9,
  • 16cdot0,1=1,6.
    Somando tudo dá
E[X^2]=0,3+1,2+0,9+1,6=4,0

Passo 4

Por fim, a variância é a diferença entre essa média dos quadrados e o quadrado da média:
Var(X)=E[X^2]-l(E[X]r)^2 =4,0-(1,6)^2 =4,0-2,56 =1,44

Resposta

1,44

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