Considere a população P=0,0,0,1,2 e todas as amostras possíveis de tamanho n=2 com reposição, retiradas dessa população. Sejam X1 e X2 as variáveis aleatórias que indicam o primeiro e o segundo elemento selecionados, respectivamente.
a) Apresente a distribuição conjunta de ( X1, X2 ) em uma tabela de dupla entrada.
b) Calcule P(X1=0, X2=0).
c) O par ( X1, X2 ) constitui uma amostra aleatória simples de P ? Justifique sua resposta.
d) Calcule P(barX=1).
e) Apresente a distribuição amostral da estatística barX=X1+X22
f) Determine P(min X1, X2=0) e P(max X1, X2=2).
g) Se a amplitude amostral W=MaxX1, X2-MinX1, X2), calcule P(W=2).
h) Obtenha a distribuição de probabilidade da estatística W=MaxX1, X2-MinX1, X2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício. O que a questão está pedindo é para a gente montar a distribuição conjunta das variáveis aleatórias X1 e X2 . A distribuição conjunta mostra todas as combinações possíveis dos valores que X1 e X2 podem assumir, junto com as probabilidades de cada combinação ocorrer. Para isso, precisamos saber os possíveis valores que cada variável pode tomar e calcular as probabilidades correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os possíveis valores na população P = 0,0,0,1,2 . Observando, os valores distintos são 0, 1 e 2.
Como estamos fazendo amostras com reposição de tamanho 2, X1 e X2 podem assumir qualquer um desses valores independentemente. Isso significa que cada posição na amostra (primeiro e segundo elemento) pode ser 0, 1 ou 2.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor ser selecionado em cada posição. Como a amostra é com reposição, a probabilidade de selecionar cada valor é constante para ambas as posições.
  • Temos 5 elementos na população.
  • Número de zeros: 3
  • Número de uns: 1
  • Número de dois: 1
Então, as probabilidades são:
P(Xi = 0) = 35
P(Xi = 1) = 15
P(Xi = 2) = 15
onde i = 1, 2 .

Passo 4

Com isso, podemos listar todas as combinações possíveis de e e calcular a probabilidade de cada uma. Como as seleções são independentes, multiplicamos as probabilidades dos eventos individuais.
As combinações e suas probabilidades são:

Resposta

A distribuição conjunta de é a seguinte tabela:

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