Considere a população
e todas as amostras possíveis de tamanho
com reposição, retiradas dessa população. Sejam
e
as variáveis aleatórias que indicam o primeiro e o segundo elemento selecionados, respectivamente.
a) Apresente a distribuição conjunta de (
) em uma tabela de dupla entrada.
b) Calcule
.
c) O par (
) constitui uma amostra aleatória simples de
? Justifique sua resposta.
d) Calcule
.
e) Apresente a distribuição amostral da estatística
f) Determine
e
.
g) Se a amplitude amostral
, calcule
.
h) Obtenha a distribuição de probabilidade da estatística
.
a) Apresente a distribuição conjunta de (
b) Calcule
c) O par (
d) Calcule
e) Apresente a distribuição amostral da estatística
f) Determine
g) Se a amplitude amostral
h) Obtenha a distribuição de probabilidade da estatística
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício. O que a questão está pedindo é para a gente montar a distribuição conjunta das variáveis aleatórias
e
. A distribuição conjunta mostra todas as combinações possíveis dos valores que
e
podem assumir, junto com as probabilidades de cada combinação ocorrer. Para isso, precisamos saber os possíveis valores que cada variável pode tomar e calcular as probabilidades correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os possíveis valores na população
. Observando, os valores distintos são 0, 1 e 2.
Como estamos fazendo amostras com reposição de tamanho 2,
e
podem assumir qualquer um desses valores independentemente. Isso significa que cada posição na amostra (primeiro e segundo elemento) pode ser 0, 1 ou 2.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor ser selecionado em cada posição. Como a amostra é com reposição, a probabilidade de selecionar cada valor é constante para ambas as posições.
- Temos 5 elementos na população.
- Número de zeros: 3
- Número de uns: 1
- Número de dois: 1
Então, as probabilidades são:
onde
.
Passo 4
Com isso, podemos listar todas as combinações possíveis de
e
e calcular a probabilidade de cada uma. Como as seleções são independentes, multiplicamos as probabilidades dos eventos individuais.
As combinações e suas probabilidades são:
Resposta
A distribuição conjunta de
é a seguinte tabela: