4^ a questão) Sabendo que no experimento de Rutherford a interação entre a partícula alpha e o núcleo do átomo de ouro é descrita pela força de Coulomb, pede-se:
(a) (Valor 2,5 ptos) Obtenha a energia potencial de interação entre a partícula alpha e um núcleo do átomo de ouro.
(b) (Valor 2,5 ptos) Obtenha a expressão do raio da órbita quantizada proposta por Bohr para o elétron do átomo de Hidrogênio considerando a quantização de Bohr para o momento angular e, portanto, em função do número inteiro n.
© (Valor 1,0 ptos) Calcule o raio da 1^ a órbita no modelo proposto por Bohr para o átomo de Hidrogênio.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na parte (a) desse exercício. A questão fala sobre o experimento de Rutherford, onde partículas alfa interagem com o núcleo de um átomo de ouro através da força de Coulomb. O que vamos precisar aqui é entender como calcular a energia potencial dessa interação usando a fórmula da força de Coulomb.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força de Coulomb descreve a interação entre duas cargas elétricas. A energia potencial elétrica $ U $ entre duas cargas $ q_1 $ e $ q_2 $ separadas por uma distância $ r $ é dada por:
U
onde $ k $ é a constante de Coulomb, $ k = 8,988 \times 10^9 , N·m²/C² $.

Passo 3

No experimento de Rutherford, a partícula alfa tem uma carga de $ +2e $ (já que é composta por 2 prótons) e o núcleo de ouro tem uma carga de $ +79e $ (pois ouro tem 79 prótons). Portanto, $ q_1 = 2e $ e $ q_2 = 79e $, onde $ e = 1,602 \times 10^{-19} , C $.

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da energia potencial:
U = k cdot (2e) cdot (79e)r = 2 cdot 79 cdot k cdot e^2r
Então, a energia potencial de interação depende inversamente da distância $ r $ entre a partícula alfa e o núcleo de ouro.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Aqui, precisamos encontrar a expressão do raio da órbita quantizada do elétron no átomo de Hidrogênio segundo o modelo de Bohr. Isso envolve a quantização do momento angular.

Passo 6

No modelo de Bohr, o momento angular $ L $ do elétron é quantizado e dado por:
L
onde $ n $ é um número inteiro (1, 2, 3, …) e $ \hbar = \frac{h}{2\pi} $ é a constante de Dirac.

Passo 7

Além disso, no equilíbrio circular da órbita, a força centrípeta necessária para manter o elétron na órbita é fornecida pela força eletrostática de Coulomb entre o elétron e o próton:
me cdot v^2r = k cdot e^2r^2
onde $ m_e $ é a massa do elétron, $ v $ é a velocidade do elétron, e $ r $ é o raio da órbita.

Passo 8

Substituindo $ L = m_e \cdot v \cdot r = n \cdot \hbar $, podemos resolver para $ v $:
L = me cdot v cdot r = n cdot hbar
Agora, substituindo $ v $ na equação da força centrípeta:
v
Simplificando:
v = n cdot hbarme cdot r

Passo 9

Resolvendo para $ r $:
r
Essa é a expressão do raio da órbita quantizada proposta por Bohr para o elétron do átomo de Hidrogênio em função do número inteiro $ n $.

Passo 10

Finalmente, vamos resolver a parte ©, que pede para calcular o raio da primeira órbita ($ n = 1 $) no modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio.

Passo 11

Usando a fórmula que encontramos na parte (b):
r1 = 1^2 cdot hbar^2me cdot k cdot e^2
Vamos substituir os valores das constantes:
  • $ \hbar = 1,0545718 \times 10^{-34} , J·s $
  • $ m_e = 9,10938356 \times 10^{-31} , kg $
  • $ k = 8,988 \times 10^9 , N·m²/C² $
  • $ e = 1,602 \times 10^{-19} , C $

Passo 12

Calculando o valor:
r1 = (1,0545718 times 10^-34)^2(9,10938356 times 10^-31) cdot (8,988 times 10^9) cdot (1,602 times 10^-19)^2
Fazendo as contas:
r1 approx 5,29 times 10^-11 , metros
Que também pode ser escrito como:
r1 approx 0,529 , Ångströms Åö

Resposta

O raio da primeira órbita no modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio é aproximadamente:
r1 approx 5,29 times 10^-11 , m

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