questão) Sabendo que no experimento de Rutherford a interação entre a partícula
e o núcleo do átomo de ouro é descrita pela força de Coulomb, pede-se:
(a) (Valor 2,5 ptos) Obtenha a energia potencial de interação entre a partícula
e um núcleo do átomo de ouro.
(b) (Valor 2,5 ptos) Obtenha a expressão do raio da órbita quantizada proposta por Bohr para o elétron do átomo de Hidrogênio considerando a quantização de Bohr para o momento angular e, portanto, em função do número inteiro
.
© (Valor 1,0 ptos) Calcule o raio da
órbita no modelo proposto por Bohr para o átomo de Hidrogênio.
(a) (Valor 2,5 ptos) Obtenha a energia potencial de interação entre a partícula
(b) (Valor 2,5 ptos) Obtenha a expressão do raio da órbita quantizada proposta por Bohr para o elétron do átomo de Hidrogênio considerando a quantização de Bohr para o momento angular e, portanto, em função do número inteiro
© (Valor 1,0 ptos) Calcule o raio da
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na parte (a) desse exercício. A questão fala sobre o experimento de Rutherford, onde partículas alfa interagem com o núcleo de um átomo de ouro através da força de Coulomb. O que vamos precisar aqui é entender como calcular a energia potencial dessa interação usando a fórmula da força de Coulomb.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força de Coulomb descreve a interação entre duas cargas elétricas. A energia potencial elétrica $ U $ entre duas cargas $ q_1 $ e $ q_2 $ separadas por uma distância $ r $ é dada por:
onde $ k $ é a constante de Coulomb, $ k = 8,988 \times 10^9 , N·m²/C² $.
Passo 3
No experimento de Rutherford, a partícula alfa tem uma carga de $ +2e $ (já que é composta por 2 prótons) e o núcleo de ouro tem uma carga de $ +79e $ (pois ouro tem 79 prótons). Portanto, $ q_1 = 2e $ e $ q_2 = 79e $, onde $ e = 1,602 \times 10^{-19} , C $.
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula da energia potencial:
Então, a energia potencial de interação depende inversamente da distância $ r $ entre a partícula alfa e o núcleo de ouro.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Aqui, precisamos encontrar a expressão do raio da órbita quantizada do elétron no átomo de Hidrogênio segundo o modelo de Bohr. Isso envolve a quantização do momento angular.
Passo 6
No modelo de Bohr, o momento angular $ L $ do elétron é quantizado e dado por:
onde $ n $ é um número inteiro (1, 2, 3, …) e $ \hbar = \frac{h}{2\pi} $ é a constante de Dirac.
Passo 7
Além disso, no equilíbrio circular da órbita, a força centrípeta necessária para manter o elétron na órbita é fornecida pela força eletrostática de Coulomb entre o elétron e o próton:
onde $ m_e $ é a massa do elétron, $ v $ é a velocidade do elétron, e $ r $ é o raio da órbita.
Passo 8
Substituindo $ L = m_e \cdot v \cdot r = n \cdot \hbar $, podemos resolver para $ v $:
Agora, substituindo $ v $ na equação da força centrípeta:
Simplificando:
Passo 9
Resolvendo para $ r $:
Essa é a expressão do raio da órbita quantizada proposta por Bohr para o elétron do átomo de Hidrogênio em função do número inteiro $ n $.
Passo 10
Finalmente, vamos resolver a parte ©, que pede para calcular o raio da primeira órbita ($ n = 1 $) no modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio.
Passo 11
Usando a fórmula que encontramos na parte (b):
Vamos substituir os valores das constantes:
- $ \hbar = 1,0545718 \times 10^{-34} , J·s $
- $ m_e = 9,10938356 \times 10^{-31} , kg $
- $ k = 8,988 \times 10^9 , N·m²/C² $
- $ e = 1,602 \times 10^{-19} , C $
Passo 12
Calculando o valor:
Fazendo as contas:
Que também pode ser escrito como:
Resposta
O raio da primeira órbita no modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio é aproximadamente: