3^ a questão) (Valor 4,0 ptos) Uma das técnicas modernas para o estudo de estruturas moleculares é a difração de nêutrons. Nessa técnica nêutrons são gerados em uma temperatura específica a partir de fontes de nêutrons de alta energia. Suponha que a velocidade de um nêutron seja data por v=(3 kBT / m) 1 / 2, onde m é a massa do nêutron, e kB a constante de Boltzman igual a 1,381x10-23 J/K. Qual é a temperatura desse nêutron tal que seu comprimento de onda de de Broglie seja 50 pm? Use a massa do nêutron igual a 1,67 times 10-27 kg.

Passo 1

Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos falando sobre difração de nêutrons, uma técnica usada para estudar a estrutura molecular. A velocidade de um nêutron é dada pela fórmula:
v = raiz3kBTm
Aqui, $ v v éê k_B $ é a constante de Boltzmann ( $ 1,381 \times 10^{-23} , J/K $ ), $ T kB é m $ é a massa do nêutron ( $ 1,67 \times 10^{-27} , kg $ ). A questão pede para encontrar a temperatura $ T $ para que o comprimento de onda de de Broglie do nêutron seja 50 pm.
Para resolver, vamos precisar das seguintes coisas:
  • Entender a relação entre velocidade e temperatura.
  • Utilizar a fórmula do comprimento de onda de de Broglie.
  • Fazer os cálculos necessários passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o comprimento de onda de de Broglie é dado por:
lambda = hp
onde $ \lambda lambda é h h é 6,626 \times 10^{-34} , J·s 6,626 times 10^-34 , J·s p $ é o momento linear do nêutron.
O momento $ p $ pode ser expresso como:
p
Então, substituindo na fórmula do comprimento de onda:
p

Passo 3

Agora, queremos encontrar a temperatura $ T $ que faz com que $ \lambda = 50 , pm $ (picômetros), ou seja:
T
Vamos resolver essa equação para $ v $:
lambda = 50 , pm

Passo 4

Calculando $ v $:
Primeiro, calcule o denominador:
v
Agora, divida $ h $ por esse valor:
1,67 times 10^-27 cdot 50 times 10^-12 = 8,35 times 10^-38
Então, a velocidade do nêutron é aproximadamente $ 7,93 \times 10^{3} , m/s $.

Passo 5

Agora que temos $ v $, vamos usar a fórmula da velocidade em função da temperatura para encontrar $ T $:
v
Primeiro, vamos isolar $ T $:
T

Passo 6

Substituindo os valores:
T = (7,93 times 10^3)^2 cdot 1,67 times 10^-273 cdot 1,381 times 10^-23
Primeiro, calcule $ v^2 $:
v^2
Então:
(7,93 times 10^3)^2 approx 6,29 times 10^7 , m^2/s^2

Resposta

A temperatura do nêutron para que seu comprimento de onda de de Broglie seja 50 pm é aproximadamente 2530 K.

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