Questão 1 Sabendo que
f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{4}+\frac{1}{x^{4}} ; \forall x \in \mathbb{R}-\{0\},
determine f(3).

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade válida para todo x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}:
f\!\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{4}+\frac{1}{x^{4}}.
Pede-se determinar f(3).
Informações relevantes:
  • A função f é dada indiretamente: o valor de f em argumentos da forma \,x+\dfrac{1}{x}\, é igual a x^{4}+\dfrac{1}{x^{4}} para todo x\neq0.
  • Quer-se o valor de f no número 3, isto é, f(3).
  • Para usar a igualdade fornecida para obter f(3), precisamos encontrar algum x\neq0 tal que
x+\frac{1}{x}=3.
Não se resolveu ainda essa equação; isso será feito nos passos seguintes.

Passo 2

Resolver a equação que relaciona x com o argumento 3:
x+\frac{1}{x}=3.
Multiplicando ambos os lados por x (válido porque x\neq0):
x^{2}+1=3x.
Rearranjando obtemos a equação quadrática
x^{2}-3x+1=0.
As raízes dessa quadrática são
x=\frac{3\pm\sqrt{9-4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2},
que são dois números reais não nulos. Portanto existem x válidos que tornam x+\dfrac{1}{x}=3.

Passo 3

Observação útil (identidade algébrica) para reduzir potências: seja
S=x+\frac{1}{x}.
Então
S^{2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}.
Isolando x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}} obtemos
x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=S^{2}-2.
No nosso caso sabemos que S=3, então
x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=3^{2}-2=9-2=7.

Passo 4

Outra identidade para levar ao quarto grau: tomando quadrado de x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}},
\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)^{2}=x^{4}+2+\frac{1}{x^{4}}.
Isolando x^{4}+\dfrac{1}{x^{4}} temos
x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)^{2}-2.
Substituindo o valor encontrado no passo anterior x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=7, obtemos
x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=7^{2}-2=49-2=47.

Passo 5

Como para qualquer x que satisfaça x+\dfrac{1}{x}=3 vale a identidade inicial dada pelo enunciado, concluímos que
f(3)=x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=47.
Observação: tanto a raiz x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2} quanto x=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2} dão o mesmo resultado porque as expressões envolvidas são simétricas em x e \dfrac{1}{x}.

Resposta

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