Questão 1 Sabendo que
determine
.
Passo 1
O enunciado nos dá a igualdade válida para todo
:
Pede-se determinar
.
Informações relevantes:
- A função
é dada indiretamente: o valor de em argumentos da forma é igual a para todo . - Quer-se o valor de
no número , isto é, . - Para usar a igualdade fornecida para obter
, precisamos encontrar algum tal que
Não se resolveu ainda essa equação; isso será feito nos passos seguintes.
Passo 2
Resolver a equação que relaciona
com o argumento
:
Multiplicando ambos os lados por
(válido porque
):
Rearranjando obtemos a equação quadrática
As raízes dessa quadrática são
que são dois números reais não nulos. Portanto existem
válidos que tornam
.
Passo 3
Observação útil (identidade algébrica) para reduzir potências: seja
Então
Isolando
obtemos
No nosso caso sabemos que
, então
Passo 4
Outra identidade para levar ao quarto grau: tomando quadrado de
,
Isolando
temos
Substituindo o valor encontrado no passo anterior
, obtemos
Passo 5
Como para qualquer
que satisfaça
vale a identidade inicial dada pelo enunciado, concluímos que
Observação: tanto a raiz
quanto
dão o mesmo resultado porque as expressões envolvidas são simétricas em
e
.