Questão 10 Sejam funções tais que hogof e fohog são sobrejetoras e gofoh é injetora. Demonstre que
e
são bijetoras.
Passo 1
Vou primeiro reescrever claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Sejam conjuntos
e funções - Dados (pegos do enunciado):
-
é sobrejetora. -
é sobrejetora. -
é injetora.
-
O que o enunciado pede:
- Demonstrar que as três funções
, e são bijetoras (isto é, injetivas e sobrejetoras).
Passo 2
Relembrando definições e fatos úteis (vou explicar de forma bem direta):
-
Definições:
- Uma função
é injetora se, para quaisquer no domínio, . - Uma função
é sobrejetora se, para todo no contradomínio, existe tal que . - Bijetora = injetora + sobrejetora.
- Uma função
-
Dois fatos simples sobre composições (e suas provas rápidas):
- Se
é sobrejetora então é sobrejetora. - Prova: para todo
no contradomínio de existe tal que ; isto é , logo pertence à imagem de .
- Prova: para todo
- Se
é injetora então é injetora. - Prova: se
então ; como é injetora segue .
- Prova: se
- Se
Também usarei que a composição de funções injetoras é injetora e que a composição de funções sobrejetoras é sobrejetora; e que uma bijeção tem inversa (função inversa) que é bijetora também.
Passo 3
Aplicando os fatos às composições dadas:
-
Como
é sobrejetora e essa composição tem como função final, pelo fato 1 concluo que é sobrejetora. -
Como
é sobrejetora e essa composição tem como função final, concluo que é sobrejetora. -
Como
é injetora e essa composição tem como função última (ou seja, é injetora como função cujo primeiro operador é sobre o resultado de ), pelo fato 2 concluo que é injetora. (Forma direta: se então aplicando numa cadeia adequada obtém-se igualdade que, pela injetividade da composição completa, força .)
Assim, até aqui temos:
Passo 4
Agora mostro que
é também injetora (logo bijetora).
- Tome
e suponha . - Então, aplicando
e depois , obtém-se isto é, - Como
é injetora pelo enunciado, segue . - Logo
é injetora.
Juntando com o resultado do Passo 3 (
sobrejetora), temos que
é bijetora. Portanto existe a inversa
.
Passo 5
Usando
obtenho informação sobre
:
- Escrevo
- Como
é injetora (dado) e é bijetora (daí injetora), a composição de duas funções injetoras é injetora. Portanto é injetora.
Passo 6
A partir de
injetora e
injetora deduzo que
é injetora:
- Se
então aplicando obtemos . - Como
é injetora, isso implica . - Logo
é injetora.
Juntando com o Passo 3 (
sobrejetora), concluímos que
é bijetora. Assim existe
.
Passo 7
Finalmente mostro que
é sobrejetora (e portanto bijetora, já que já sabemos que
é injetora).
- Use a composição dada
que é sobrejetora (dado). Como é bijetora, tem inversa . Então - A composição de uma função sobrejetora com uma bijeção é sobrejetora, logo
é sobrejetora. - Como
é bijetora, existe e é sobrejetora; então é composição de sobrejetoras, portanto sobrejetora. - Assim
é sobrejetora. Juntando com o Passo 3 ( injetora), temos que é bijetora.
Passo 8
Resumo final das conclusões lógicas:
-
é bijetora (Passos 3 e 4). -
é bijetora (Passos 3 e 6). -
é bijetora (Passos 3 e 7).
Portanto todas as três funções são bijetoras.
Resposta
As funções
,
e
são bijetoras.