Questão 10 Sejam funções tais que hogof e fohog são sobrejetoras e gofoh é injetora. Demonstre que f, g e h são bijetoras.

Passo 1

Vou primeiro reescrever claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Sejam conjuntos A,B,C e funções f: A \to B,\qquad g: B \to C,\qquad h: C \to A.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • \;h\circ g\circ f: A\to A é sobrejetora.
    • \;f\circ h\circ g: B\to B é sobrejetora.
    • \;g\circ f\circ h: C\to C é injetora.
O que o enunciado pede:
  • Demonstrar que as três funções f, g e h são bijetoras (isto é, injetivas e sobrejetoras).

Passo 2

Relembrando definições e fatos úteis (vou explicar de forma bem direta):
  • Definições:
    • Uma função T é injetora se, para quaisquer x_1,x_2 no domínio, T(x_1)=T(x_2)\Rightarrow x_1=x_2.
    • Uma função T é sobrejetora se, para todo y no contradomínio, existe x tal que T(x)=y.
    • Bijetora = injetora + sobrejetora.
  • Dois fatos simples sobre composições (e suas provas rápidas):
    1. Se A\circ B é sobrejetora então A é sobrejetora.
      • Prova: para todo y no contradomínio de A existe x tal que (A\circ B)(x)=y; isto é A(B(x))=y, logo y pertence à imagem de A.
    2. Se A\circ B é injetora então B é injetora.
      • Prova: se B(x_1)=B(x_2) então A(B(x_1))=A(B(x_2)); como A\circ B é injetora segue x_1=x_2.
Também usarei que a composição de funções injetoras é injetora e que a composição de funções sobrejetoras é sobrejetora; e que uma bijeção tem inversa (função inversa) que é bijetora também.

Passo 3

Aplicando os fatos às composições dadas:
  • Como \;h\circ g\circ f é sobrejetora e essa composição tem h como função final, pelo fato 1 concluo que \;h é sobrejetora.
  • Como \;f\circ h\circ g é sobrejetora e essa composição tem f como função final, concluo que \;f é sobrejetora.
  • Como \;g\circ f\circ h é injetora e essa composição tem h como função última (ou seja, g\circ f\circ h é injetora como função cujo primeiro operador é g\circ f sobre o resultado de h), pelo fato 2 concluo que \;g é injetora. (Forma direta: se g(y_1)=g(y_2) então aplicando f\circ h numa cadeia adequada obtém-se igualdade que, pela injetividade da composição completa, força y_1=y_2.)
Assim, até aqui temos:
\text{\(h\) é sobrejetora, \quad \(f\) é sobrejetora, \quad \(g\) é injetora.}ééé

Passo 4

Agora mostro que h é também injetora (logo bijetora).
  • Tome c_1,c_2\in C e suponha h(c_1)=h(c_2).
  • Então, aplicando f e depois g, obtém-se g\bigl(f(h(c_1))\bigr)=g\bigl(f(h(c_2))\bigr),isto é, (g\circ f\circ h)(c_1)=(g\circ f\circ h)(c_2).
  • Como g\circ f\circ h é injetora pelo enunciado, segue c_1=c_2.
  • Logo h é injetora.
Juntando com o resultado do Passo 3 ( h sobrejetora), temos que h é bijetora. Portanto existe a inversa \;h^{-1}:A\to C.

Passo 5

Usando h^{-1} obtenho informação sobre g\circ f:
  • Escrevo g\circ f = (g\circ f\circ h)\circ h^{-1}.
  • Como g\circ f\circ h é injetora (dado) e h^{-1} é bijetora (daí injetora), a composição de duas funções injetoras é injetora. Portanto g\circ f é injetora.

Passo 6

A partir de g injetora e g\circ f injetora deduzo que f é injetora:
  • Se f(a_1)=f(a_2) então aplicando g obtemos g(f(a_1))=g(f(a_2)).
  • Como g\circ f é injetora, isso implica a_1=a_2.
  • Logo f é injetora.
Juntando com o Passo 3 ( f sobrejetora), concluímos que f é bijetora. Assim existe f^{-1}:B\to A.

Passo 7

Finalmente mostro que g é sobrejetora (e portanto bijetora, já que já sabemos que g é injetora).
  • Use a composição dada h\circ g\circ f que é sobrejetora (dado). Como f é bijetora, tem inversa f^{-1}. Então h\circ g = (h\circ g\circ f)\circ f^{-1}.
  • A composição de uma função sobrejetora com uma bijeção é sobrejetora, logo h\circ g é sobrejetora.
  • Como h é bijetora, h^{-1} existe e é sobrejetora; então g = h^{-1}\circ (h\circ g)é composição de sobrejetoras, portanto sobrejetora.
  • Assim g é sobrejetora. Juntando com o Passo 3 ( g injetora), temos que g é bijetora.

Passo 8

Resumo final das conclusões lógicas:
  • h é bijetora (Passos 3 e 4).
  • f é bijetora (Passos 3 e 6).
  • g é bijetora (Passos 3 e 7).
Portanto todas as três funções são bijetoras.

Resposta

As funções f, g e h são bijetoras.

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