F: \mathbb{P}(A) \rightarrow\left\{\boldsymbol{\mathcal { X }}_{\boldsymbol{B}}\right\}_{B \subset \mathbb{P}(A)}
definida por
F(B)=\mathcal{X}_{\boldsymbol{B}}
onde \mathcal{X}_{B}: A \rightarrow\{0,1\} é uma função dada por
\mathcal{X}_{\boldsymbol{B}}(a)=\left\{\begin{array}{lll} 1, & \text { se } & a \in B \\\\ 0, & \text { se } & a \notin B \end{array}\right.
é bijetora.
Observação: O símbolo \mathbb{P}(A) é denominado o conjunto das partes de A, e, por definição, é o conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
Dá o conjunto A\).
- Dá o conjunto das partes \(\mathbb{P}(A)\), ou seja, o conjunto de todos os subconjuntos de \(A\).
- Para cada subconjunto \(B\subset A\) está definida a função indicadora (ou caracteística) \(\mathcal{X}_{B}:A\to\{0,1\}\) por
\[\mathcal{X}_{B}(a)=\begin{cases} 1, & \text{se } a\in B,\\[4pt] 0, & \text{se } a\notin B. \end{cases}
O enunciado pede para mostrar que (F] é bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora).]
Passo 2
Definições importantes (explicadas de forma simples).
Uma função F é injetora (ou um para um) se sempre que F(X)=F(Y) então X=Y. Em palavras: pontos diferentes no domínio não podem ir para o mesmo ponto no contradomínio.
Uma função F é sobrejetora (ou sobre) se todo elemento do contradomínio tem pelo menos um elemento do domínio que o envia para ele. Em palavras: a imagem de F é todo o contradomínio.
Uma bijeção é uma função que é simultaneamente injetora e sobrejetora.
Essas são as ferramentas que vou usar para provar que F é bijetora.
Passo 3
Prova da injetividade de F.
Queremos mostrar: se F(B_1)=F(B_2) então B_1=B_2.
Começo assumindo F(B_1)=F(B_2). Pela definição de F isso significa
\mathcal{X}_{B_1}=\mathcal{X}_{B_2},
ou seja, como são funções, isso quer dizer que para todo a\in A
\mathcal{X}_{B_1}(a)=\mathcal{X}_{B_2}(a).
Agora uso a definição da função indicadora ponto a ponto. Tomo um elemento arbitrário a\in A.
Se a\in B_1 então \mathcal{X}_{B_1}(a)=1. Pela igualdade das funções segue \mathcal{X}_{B_2}(a)=1, e portanto a\in B_2. Logo B_1\subset B_2.
O argumento é simétrico: se a\in B_2 então \mathcal{X}_{B_2}(a)=1 e, pela igualdade das funções, \mathcal{X}_{B_1}(a)=1, logo a\in B_1. Assim B_2\subset B_1.
Juntando as duas inclusões obtemos B_1=B_2. Portanto F é injetora.
(Pequeno exemplo ilustrativo: se A=\{1,2\}, então B=\{1\} corresponde à função \mathcal{X}_B com \mathcal{X}_B(1)=1,\\ \mathcal{X}_B(2)=0. Duas funções iguais significariam igualdade das duas coordenadas, logo os subconjuntos são os mesmos.)
Passo 4
Prova da sobrejetividade de F.
O contradomínio foi descrito explicitamente como \{\mathcal{X}_{B}\}_{B\subset A}, isto é, o conjunto formado por todas as funções indicadoras de subconjuntos de A. Seja g um elemento arbitrário do contradomínio. Por definição de contradomínio existe um subconjunto C\subset A tal que g=\mathcal{X}_{C}. Então
F\text{(C)}=\mathcal{X}_{C}=g.
Assim, para qualquer g do contradomínio existe C\in\mathbb{P}(A) com F\text{(C)}=g. Isso mostra que F é sobrejetora.
Passo 5
Construção explícita da inversa (opcional, reforçando a bijeção).
Define G:\{\mathcal{X}_{B}\}_{B\subset A}\to\mathbb{P}(A) por
G(\mathcal{X})=\{a\in A:\mathcal{X}(a)=1\}.
Para \mathcal{X}=\mathcal{X}_B tem-se G(\mathcal{X}_B)=B. Além disso F(G(\mathcal{X}_B))=F(B)=\mathcal{X}_B. Logo G é a inversa de F e isto confirma que F é bijetora.