Questão 2: Sabendo que a força centrípeta é dada por F=\frac{m v^{2}}{R}, onde m é massa, v é velocidade e R é raio:
a) Determine a dimensão do lado direito da equação.
b) Verifique se a equação resulta em unidade de Força (Newton).

Passo 1

O enunciado dá a fórmula da força centrípeta
F=\frac{m v^{2}}{R}
e pede duas coisas:
a) determinar a dimensão do lado direito da equação;
b) verificar se essa expressão corresponde à unidade de força (Newton) no SI.
As informações relevantes que vamos usar (pegas do enunciado e do SI):
  • A massa \,m tem dimensão [m]=M e unidade SI \mathrm{kg}.
  • A velocidade \,v tem dimensão [v]=L\,T^{-1} e unidade SI \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
  • O raio \,R tem dimensão [R]=L e unidade SI \mathrm{m}.

Passo 2

Primeiro calculemos a dimensão de \,v^{2}. Usando que [v]=L\,T^{-1}, aplicamos a propriedade de potências em dimensões:
[v^{2}]=\bigl(L\,T^{-1}\bigr)^{2}=L^{2}\,T^{-2}.
Explicação curta: ao elevar a uma potência, cada expoente se multiplica pela potência (o expoente de L passa a ser 2, o de T^{-1} passa a ser -2).

Passo 3

Agora dividimos [v^{2}] por [R]. Como [R]=L,
\frac{[v^{2}]}{[R]}=\frac{L^{2}\,T^{-2}}{L}=L^{2-1}\,T^{-2}=L\,T^{-2}.
Regra usada: ao dividir, subtrai-se os expoentes da mesma base.

Passo 4

Multiplicando pelo fator [m]=M obtemos a dimensão total do lado direito:
[F]=[m]\cdot\frac{[v^{2}]}{[R]}=M\cdot\bigl(L\,T^{-2}\bigr)=M\,L\,T^{-2}.
Conclusão da parte (a): a dimensão do lado direito é \,M\,L\,T^{-2}, que é exatamente a dimensão de uma força.

Passo 5

Agora verificamos unidades no SI para a parte (b). Substituindo as unidades:
\frac{\mathrm{kg}\,\bigl(\mathrm{m\cdot s^{-1}}\bigr)^{2}}{\mathrm{m}} = \frac{\mathrm{kg}\,\mathrm{m^{2}\,s^{-2}}}{\mathrm{m}} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s^{-2}}.
No SI, a unidade de força (Newton) é definida por
1\,\mathrm{N}=1\,\mathrm{kg\cdot m\cdot s^{-2}}.
Portanto a expressão dá exatamente \mathrm{kg\cdot m\cdot s^{-2}}=\mathrm{N}.

Passo 6

Resumo didático (para você decorar e usar na prova):
  • Dimensionalmente: [F]=M\,L\,T^{-2}.
  • Em unidades SI: \mathrm{kg\cdot m\cdot s^{-2}}=\mathrm{N}.
    Uma checagem rápida com números (opcional): se \,m=1\,\mathrm{kg}, \,v=1\,\mathrm{m/s} e \,R=1\,\mathrm{m}, então \,F=1\cdot1^{2}/1=1 e a unidade é 1\,\mathrm{N} — consistente.

Resposta

a) [F]=M\,L\,T^{-2}
b) \mathrm{kg\cdot m\cdot s^{-2}}=\mathrm{N}

Exercícios relacionados