3{ }^{\text {a }} ) Seja U=\left\{A \in M_{2} ; \operatorname{tr}(A)=0\right\} e W=\left\{A \in M_{2} ; A^{t}=-A\right\} subespaço de V=M_{2}, onde \operatorname{tr}(A) é a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A , chamado de traço de A . Determine uma base e a dimensão de U, W, U+W e U \cap W.
4{ }^{\text {a }} ) Determine as coordenadas do vetor u=(-1,8,5) \in \mathbb{R}^{3} em relação a cada uma das bases do \mathbb{R}^{3} a seguir:

Passo 1

O enunciado pede duas coisas separadas:
  1. (3ª) No espaço V=M_{2} (matrizes 2\times2 reais), com
U=\{A\in M_{2}\mid \operatorname{tr}(A)=0\},
W=\{A\in M_{2}\mid A^{t}=-A\},
determinar uma base e a dimensão de U, de W, de U+W e de U\cap W. O enunciado dá as definições de U e W e que \operatorname{tr}(A) é a soma dos elementos da diagonal principal.
  1. (4ª) Determinar as coordenadas do vetor u=(-1,8,5)\in\mathbb{R}^{3} em relação a cada uma das bases do \mathbb{R}^{3} que deveriam ser apresentadas a seguir. Contudo, as bases não foram fornecidas no enunciado que recebi.
Informações dadas relevantes: V=M_{2} (espaço de dimensão 4), definições explícitas de U e W, e o vetor u para a questão 4 (mas faltam as bases).

Passo 2

Primeiro vamos entender a estrutura geral de M_{2} e anotar uma representação geral de uma matriz 2\times2. Uma matriz genérica A\in M_{2} pode ser escrita como
A=\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & d \end{pmatrix},
onde a,b,c,d\in\mathbb{R}. O espaço M_{2} tem dimensão 4; uma base canônica é, por exemplo, as matrizes
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\quad E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}.
A traço de A é \operatorname{tr}(A)=a+d.]

Passo 3

Vamos caracterizar U=\{A\in M_{2}\mid \operatorname{tr}(A)=0\}. A condição \operatorname{tr}(A)=0 é a+d=0, ou seja d=-a. Assim uma matriz em U tem a forma
A=\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & -a \end{pmatrix},
onde a,b,c\in\mathbb{R} são livres. Isso mostra que U é parametrizado por três parâmetros ( a,b,c), logo \dim(U)=3. Agora vamos encontrar uma base natural: escrevemos A como combinação linear dos três seguintes geradores:
\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & -a \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}.
Definimos as matrizes
U_{1}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix},\quad U_{2}=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\quad U_{3}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}.
Mostro rapidamente que \{U_{1},U_{2},U_{3}\} é base de U:
  • Geram U: já escrevemos um elemento genérico de U como combinação desses três.
  • Linearmente independentes: suponha \alpha U_{1}+\beta U_{2}+\gamma U_{3}=0 (matriz nula). Escrevendo entradas,
\alpha\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
Igualando entradas temos \alpha=0 (posição (1,1)), \beta=0 (posição (1,2)), \gamma=0 (posição (2,1)). Então só a combinação trivial dá zero, logo independência linear.
Portanto uma base de U é \{U_{1},U_{2},U_{3}\} e \dim(U)=3.]

Passo 4

Agora caracterizamos W=\{A\in M_{2}\mid A^{t}=-A\}, o subespaço das matrizes antissimétricas (ou skew-simétricas). A condição A^{t}=-A impõe que a diagonal seja zero ( a=-a implica a=0 e d=-d implica d=0) e que c=-b. Portanto uma matriz em W tem a forma
A=\begin{pmatrix}0 & b \\[4pt] -b & 0\end{pmatrix},
com b\in\mathbb{R} livre. Assim W é unidimensional. Tomamos como gerador (base) a matriz
W_{1}=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]-1&0\end{pmatrix}.
Verificações rápidas:
  • Geração: qualquer A\in W é bW_{1}.
  • Independência linear: se \lambda W_{1}=0 então \lambda=0.
Logo \{W_{1}\} é base de W e \dim(W)=1.]

Passo 5

Vamos achar U\cap W. Uma matriz em W já tem diagonal zero, então \operatorname{tr}(A)=0 automaticamente; isto é, qualquer matriz antissimétrica tem traço zero. Portanto W\subseteq U. Consequentemente
U\cap W = W.
Isto implica que uma base de U\cap W é a mesma de W, ou seja \{W_{1}\}, e \dim(U\cap W)=1.

Passo 6

Agora U+W (soma de subespaços) é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como soma de um elemento de U com um elemento de W. Como já vimos W\subseteq U, a soma estética U+W é simplesmente U (se W está contido em U, somar W não acrescenta nada além de U). Portanto
U+W = U.
Logo uma base de U+W pode ser tomada igual à base de U, por exemplo \{U_{1},U_{2},U_{3}\}, e \dim(U+W)=\dim(U)=3.
(Comentário intuitivo rápido: como \dim(U)=3 e \dim(W)=1 e W\subset U, pela fórmula da dimensão \dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)=3+1-1=3, consistente com U+W=U.)

Passo 7

Recapitulando tudo de forma direta e prática (já mostrado e justificado nos passos anteriores):
  • U=\{ \begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&-a\end{pmatrix}:a,b,c\in\mathbb{R}\} tem base \{U_{1},U_{2},U_{3}\} com
U_{1}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix},\quad U_{2}=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\quad U_{3}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix},
e \dim(U)=3.
  • W=\{ \begin{pmatrix}0&b\\[4pt]-b&0\end{pmatrix}:b\in\mathbb{R}\} tem base \{W_{1}\} com
W_{1}=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]-1&0\end{pmatrix},
e \dim(W)=1.
  • U\cap W = W tem base \{W_{1}\} e \dim(U\cap W)=1.
  • U+W = U tem base \{U_{1},U_{2},U_{3}\} e \dim(U+W)=3.]

Resposta

3ª) U: base \displaystyle \left\{\,\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}\,\right\}. \dim(U)=3.
3ª) W: base \displaystyle \left\{\,\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]-1&0\end{pmatrix}\,\right\}. \dim(W)=1.
3ª) U\cap W: U\cap W=W. base \displaystyle \left\{\,\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]-1&0\end{pmatrix}\,\right\}. \dim(U\cap W)=1.
3ª) U+W: U+W=U. base \displaystyle \left\{\,\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}\,\right\}. \dim(U+W)=3.
4ª) Não é possível determinar as coordenadas de \,u=(-1,8,5)\, porque as bases do \mathbb{R}^{3} a que o enunciado se refere não foram fornecidas.]

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