) Seja
e
subespaço de
, onde
é a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A , chamado de traço de A . Determine uma base e a dimensão de
e
.
) Determine as coordenadas do vetor
em relação a cada uma das bases do
a seguir:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas separadas:
- (3ª) No espaço
(matrizes reais), com
determinar uma base e a dimensão de
, de
, de
e de
. O enunciado dá as definições de
e
e que
é a soma dos elementos da diagonal principal.
- (4ª) Determinar as coordenadas do vetor
em relação a cada uma das bases do que deveriam ser apresentadas a seguir. Contudo, as bases não foram fornecidas no enunciado que recebi.
Informações dadas relevantes:
(espaço de dimensão 4), definições explícitas de
e
, e o vetor
para a questão 4 (mas faltam as bases).
Passo 2
Primeiro vamos entender a estrutura geral de
e anotar uma representação geral de uma matriz
. Uma matriz genérica
pode ser escrita como
onde
. O espaço
tem dimensão
; uma base canônica é, por exemplo, as matrizes
A traço de
é
.]
Passo 3
Vamos caracterizar
. A condição
é
, ou seja
. Assim uma matriz em
tem a forma
onde
são livres. Isso mostra que
é parametrizado por três parâmetros (
), logo
. Agora vamos encontrar uma base natural: escrevemos
como combinação linear dos três seguintes geradores:
Definimos as matrizes
Mostro rapidamente que
é base de
:
-
Geram
: já escrevemos um elemento genérico de como combinação desses três. -
Linearmente independentes: suponha
(matriz nula). Escrevendo entradas,
Igualando entradas temos
(posição (1,1)),
(posição (1,2)),
(posição (2,1)). Então só a combinação trivial dá zero, logo independência linear.
Portanto uma base de
é
e
.]
Passo 4
Agora caracterizamos
, o subespaço das matrizes antissimétricas (ou skew-simétricas). A condição
impõe que a diagonal seja zero (
implica
e
implica
) e que
. Portanto uma matriz em
tem a forma
com
livre. Assim
é unidimensional. Tomamos como gerador (base) a matriz
Verificações rápidas:
-
Geração: qualquer
é . -
Independência linear: se
então .
Logo
é base de
e
.]
Passo 5
Vamos achar
. Uma matriz em
já tem diagonal zero, então
automaticamente; isto é, qualquer matriz antissimétrica tem traço zero. Portanto
. Consequentemente
Isto implica que uma base de
é a mesma de
, ou seja
, e
.
Passo 6
Agora
(soma de subespaços) é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como soma de um elemento de
com um elemento de
. Como já vimos
, a soma estética
é simplesmente
(se
está contido em
, somar
não acrescenta nada além de
). Portanto
Logo uma base de
pode ser tomada igual à base de
, por exemplo
, e
.
(Comentário intuitivo rápido: como
e
e
, pela fórmula da dimensão
, consistente com
.)
Passo 7
Recapitulando tudo de forma direta e prática (já mostrado e justificado nos passos anteriores):
-
tem base com
e
.
-
tem base com
e
.
-
tem base e . -
tem base e .]
Resposta
3ª)
: base
.
3ª)
: base
.
3ª)
:
. base
.
3ª)
:
. base
.
4ª) Não é possível determinar as coordenadas de porque as bases do
a que o enunciado se refere não foram fornecidas.]
4ª) Não é possível determinar as coordenadas de