1^{\text {a }} ) Seja V=\mathbb{R}^{3} e S=\{(1,1,1),(2,2,0)\} \subset V, dado v=(x, y, z) \in V determine as condições sobre x, y e z para que v \in[S]. Onde [S] é os subespaço de todas as combinações lineares dos elementos de S.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{3} e o conjunto S=\{(1,1,1),(2,2,0)\}. Pede-se: dado v=(x,y,z)\in V, determinar as condições sobre x,y,z para que v\in [S], onde [S] é o subespaço gerado por combinações lineares dos vetores de S. Informações relevantes: os vetores de S são (1,1,1) e (2,2,0); v é um vetor arbitrário com coordenadas x,y,z.

Passo 2

O que significa v\in [S]: existe \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que v é combinação linear dos vetores de S. Escrevemos isso como
v=\alpha(1,1,1)+\beta(2,2,0).
Aqui \alpha e \beta são escalares reais desconhecidos que vamos resolver em função de x,y,z.

Passo 3

Agora igualamos coordenadas componente a componente. Da igualdade
(x,y,z)=\alpha(1,1,1)+\beta(2,2,0)
obtemos o sistema de equações
x=\alpha+2\beta,
y=\alpha+2\beta,
z=\alpha.
Expliquei: a primeira componente do lado direito é \alpha+2\beta, a segunda é igual por serem vetores com mesmas primeiras duas coordenadas, e a terceira é só \alpha porque o segundo vetor tem terceira coordenada zero.

Passo 4

Das duas primeiras equações vemos imediatamente que
x=\alpha+2\beta\quad\text{e}\quad y=\alpha+2\beta,
logo necessariamente
x=y.
Da terceira equação temos \alpha=z. Substituindo \alpha=z na primeira equação obtemos
x=z+2\beta.
Isolando \beta
\beta=\frac{x-z}{2}.
Não há restrição adicional sobre \beta, pois pode ser qualquer número real; portanto a única condição que apareceu entre x,y,z é x=y.

Passo 5

Mostro que x=y é condição suficiente (além de necessária já mostrada): suponha x=y. Escolha \alpha=z e \beta=(x-z)/2. Então
\alpha(1,1,1)+\beta(2,2,0) = (z,z,z) + \Big(\frac{x-z}{2}\Big)(2,2,0) = (z+(x-z),\,z+(x-z),\,z) = (x,x,z) = (x,y,z),
porque x=y. Assim qualquer (x,y,z) com x=y é de fato combinação linear dos vetores de S. Portanto a condição é também suficiente.

Passo 6

Interpretação geométrica rápida: [S] é um plano de dimensão 2 em \mathbb{R}^{3} formado por todos os vetores cujas duas primeiras coordenadas são iguais. Uma parametrização do subespaço é
\{(x,x,z)\mid x,z\in\mathbb{R}\},
ou, em termos dos escalares \alpha,\beta,
\{\,\alpha(1,1,1)+\beta(2,2,0)\mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\,\}.
Exemplo numérico rápido: para v=(3,3,1) temos \alpha=1, \beta=(3-1)/2=1 e v=1\cdot(1,1,1)+1\cdot(2,2,0).

Resposta

x=y

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