) Seja
e
, dado
determine as condições sobre
e
para que
. Onde
é os subespaço de todas as combinações lineares dos elementos de
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e o conjunto
. Pede-se: dado
, determinar as condições sobre
para que
, onde
é o subespaço gerado por combinações lineares dos vetores de
. Informações relevantes: os vetores de
são
e
;
é um vetor arbitrário com coordenadas
.
Passo 2
O que significa
: existe
tais que
é combinação linear dos vetores de
. Escrevemos isso como
Aqui
e
são escalares reais desconhecidos que vamos resolver em função de
.
Passo 3
Agora igualamos coordenadas componente a componente. Da igualdade
obtemos o sistema de equações
Expliquei: a primeira componente do lado direito é
, a segunda é igual por serem vetores com mesmas primeiras duas coordenadas, e a terceira é só
porque o segundo vetor tem terceira coordenada zero.
Passo 4
Das duas primeiras equações vemos imediatamente que
logo necessariamente
Da terceira equação temos
. Substituindo
na primeira equação obtemos
Isolando
dá
Não há restrição adicional sobre
, pois pode ser qualquer número real; portanto a única condição que apareceu entre
é
.
Passo 5
Mostro que
é condição suficiente (além de necessária já mostrada): suponha
. Escolha
e
. Então
porque
. Assim qualquer
com
é de fato combinação linear dos vetores de
. Portanto a condição é também suficiente.
Passo 6
Interpretação geométrica rápida:
é um plano de dimensão 2 em
formado por todos os vetores cujas duas primeiras coordenadas são iguais. Uma parametrização do subespaço é
ou, em termos dos escalares
,
Exemplo numérico rápido: para
temos
,
e
.