Questão 4. Sabendo que os vetores
e
são iguais, determine
e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- Dados: os vetores
e são iguais. - O enunciado pede: determinar
e .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A igualdade de vetores significa que cada componente correspondente é igual (primeira componente com primeira, segunda com segunda).
- Há uma expressão logarítmica
, que exige que o argumento seja positivo para fazer sentido.
Passo 2
Interpretar a igualdade dos vetores e escrever as equações resultantes.
Se
então
e
. Aplicando isso a
:
Estas são as duas equações que devemos resolver simultaneamente.
Passo 3
Entender e resolver a primeira equação
.
Explicação didática sobre logaritmos (do zero, simples e direta):
- Definição:
significa que . Ou seja, o logaritmo responde: “a que potência devo elevar a base para obter ?”. - No nosso caso, a base é
. Então significa que .
Aplicando a definição:
Passo 4
Calcular
e obter a primeira relação entre
e
.
logo
Isso também garante que o argumento do logaritmo é positivo (pois
), então a condição de existência do logaritmo está satisfeita até aqui.
Passo 5
Resolver a segunda equação
.
Explicação didática sobre potências de
:
- Conhecer potências pequenas de
ajuda muito: , , , , , . - Se
e , então podemos comparar expoentes (porque implica quando a base é positiva e diferente de ).
Portanto:
Passo 6
Agora temos um sistema linear simples em
e
:
Vou resolver passo a passo sem pular etapas, como na prova.]
Passo 7
Somar as duas equações para eliminar
.
Somando:
No lado esquerdo os
e
somam zero, então:
Dividindo por
:
Passo 8
Determinar
usando uma das equações originais (por exemplo
).
Substituindo
em
:
Isolando
:
ou seja
Passo 9
Verificação rápida (muito importante na prova): checar as duas equações iniciais e a condição do logaritmo.
- Verificar primeira:
. Ok. - Verificar segunda:
. Ok. - Checagem da existência do logaritmo:
, logo está bem definido.
Tudo confere, então a solução está correta e única.