Questão 4. Sabendo que os vetores \vec{u}=\left(\log _{2}(x-y), 2^{x+y}\right) e \vec{v}=(2,64) são iguais, determine x e y.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados: os vetores \vec{u}=\left(\log_{2}(x-y),\,2^{x+y}\right) e \vec{v}=(2,64) são iguais.
  • O enunciado pede: determinar x e y.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A igualdade de vetores significa que cada componente correspondente é igual (primeira componente com primeira, segunda com segunda).
  • Há uma expressão logarítmica \log_{2}(x-y), que exige que o argumento x-y seja positivo para fazer sentido.

Passo 2

Interpretar a igualdade dos vetores e escrever as equações resultantes.
Se \left(a,b\right)=\left(c,d\right) então a=c e b=d. Aplicando isso a \vec{u}=\vec{v}:
\log_{2}(x-y)=2
2^{x+y}=64
Estas são as duas equações que devemos resolver simultaneamente.

Passo 3

Entender e resolver a primeira equação \log_{2}(x-y)=2.
Explicação didática sobre logaritmos (do zero, simples e direta):
  • Definição: \log_{a}(t)=s significa que a^{s}=t. Ou seja, o logaritmo responde: “a que potência devo elevar a base a para obter t?”.
  • No nosso caso, a base é 2. Então \log_{2}(x-y)=2 significa que 2^{2}=x-y.
Aplicando a definição:
2^{2}=x-y.

Passo 4

Calcular 2^{2} e obter a primeira relação entre x e y.
2^{2}=4,
logo
x-y=4.
Isso também garante que o argumento do logaritmo é positivo (pois 4>0), então a condição de existência do logaritmo está satisfeita até aqui.

Passo 5

Resolver a segunda equação \,2^{x+y}=64\,.
Explicação didática sobre potências de 2:
  • Conhecer potências pequenas de 2 ajuda muito: 2^{1}=2, 2^{2}=4, 2^{3}=8, 2^{4}=16, 2^{5}=32, 2^{6}=64.
  • Se 2^{x+y}=64 e 64=2^{6}, então podemos comparar expoentes (porque 2^a=2^b implica a=b quando a base é positiva e diferente de 1).
Portanto:
x+y=6.

Passo 6

Agora temos um sistema linear simples em x e y:
\begin{cases} x-y=4,\\[4pt] x+y=6. \end{cases}
Vou resolver passo a passo sem pular etapas, como na prova.]

Passo 7

Somar as duas equações para eliminar y.
Somando:
(x-y)+(x+y)=4+6.
No lado esquerdo os -y e +y somam zero, então:
2x=10.
Dividindo por 2:
x=5.

Passo 8

Determinar y usando uma das equações originais (por exemplo x-y=4).
Substituindo x=5 em \,x-y=4\,:
5-y=4.
Isolando y:
-y=4-5=-1,
ou seja
y=1.

Passo 9

Verificação rápida (muito importante na prova): checar as duas equações iniciais e a condição do logaritmo.
  • Verificar primeira: \log_{2}(x-y)=\log_{2}(5-1)=\log_{2}(4)=2. Ok.
  • Verificar segunda: 2^{x+y}=2^{5+1}=2^{6}=64. Ok.
  • Checagem da existência do logaritmo: x-y=4>0, logo \log_{2}(x-y) está bem definido.
Tudo confere, então a solução está correta e única.

Resposta

x=5,\;y=1

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