Questão 6. Sabendo que os vetores \vec{u}=(1,0), \vec{v}=(1,-1) e \vec{w}=(2,4), determine a_{1} e a_{2} tais que
a_{1} \vec{u}+a_{2} \vec{v}=\vec{w}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,0), \vec{v}=(1,-1) e \vec{w}=(2,4) e pede para determinar a_{1} e a_{2} tais que
a_{1}\vec{u}+a_{2}\vec{v}=\vec{w}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • \vec{u}=(1,0).
  • \vec{v}=(1,-1).
  • \vec{w}=(2,4).
  • Procuram-se os escalares a_{1} e a_{2} que fazem a combinação linear acima.

Passo 2

Ideia chave (aula rápida e prática): somar vetores componente a componente.
Se \vec{x}=(x_1,x_2) e \vec{y}=(y_1,y_2), então para escalares s,t vale
s\vec{x}+t\vec{y}=(s x_1 + t y_1,\; s x_2 + t y_2).
Ou seja, a combinação linear se verifica separando as componentes x (primeira componente) e y (segunda componente) e igualando cada uma às componentes do vetor destino. Isso transforma o problema em um sistema de equações para a_1 e a_2.

Passo 3

Aplicando a regra às componentes de \vec{u} e \vec{v}:
a_{1}\vec{u}+a_{2}\vec{v}=a_{1}(1,0)+a_{2}(1,-1).
Calculando componente a componente:
a_{1}(1,0)+a_{2}(1,-1)=(a_{1}+a_{2},\;0 + (-a_{2}))=(a_{1}+a_{2},\;-a_{2}).
Esse vetor deve ser igual a \vec{w}=(2,4). Portanto obtemos o sistema de equações
\begin{cases} a_{1}+a_{2}=2,\\[4pt] -a_{2}=4. \end{cases}]

Passo 4

Resolver a segunda equação primeiro (mais simples): a equação -a_{2}=4 dá isolando a_{2},
a_{2}=-4.
Aqui fiz apenas uma operação elementar: multipliquei ambos os lados por -1.

Passo 5

Substituir a_{2}=-4 na primeira equação a_{1}+a_{2}=2:
a_{1}+(-4)=2.
Somando 4 em ambos os lados:
a_{1}=2+4=6.

Passo 6

Verificação (sempre verifique em prova — dá pontos e evita erro bobão): recombinar com os valores encontrados:
6\vec{u}+(-4)\vec{v}=6(1,0)-4(1,-1)=(6-4,\;0+4)=(2,4)=\vec{w}.
Confere certinho. Dica rápida para a prova: ao ter duas componentes, sempre iguale componente a componente; muitas vezes uma equação já resolve direto uma das incógnitas como aqui.

Resposta

a_{1}=6
a_{2}=-4

Exercícios relacionados