Questão: Sabendo que y=y(x), derive implicitamente e encontre y^{\prime} \mathrm{em} função de x e y
\sqrt{x y}=3 \sin (42 y)

Passo 1

O enunciado dá a relação entre x e y (sabendo que y é função de x):
\sqrt{x y}=3 \sin(42 y).
O que nos pedem: encontrar y' (ou seja, \dfrac{dy}{dx}) expresso em função de x e y.
Informações relevantes dadas:
  • Temos \sqrt{x y} = (x y)^{1/2}.
  • y é função de x, isto é, y=y(x) (portanto ao diferenciar termos com y aparece y').
  • Queremos isolar y' em termos de x e y.

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados em relação a x. Antes de começar, lembrando as regras que vamos usar:
  • Regra da cadeia: se F(u) e u=u(x), então \dfrac{d}{dx}F(u(x))=F'(u(x))\cdot u'(x).
  • Regra do produto: se u(x)v(x), então \dfrac{d}{dx}[u v]=u'v+uv'.
Aplicamos isso ao lado esquerdo \sqrt{x y}=(x y)^{1/2}. Tomando u(x)=x y(x) e F(u)=u^{1/2}, temos
\frac{d}{dx}\big((x y)^{1/2}\big)=\frac{1}{2}(x y)^{-1/2}\cdot\frac{d}{dx}(x y).
Agora calculamos \dfrac{d}{dx}(x y) usando a regra do produto (com x e y(x)):
\frac{d}{dx}(x y)=1\cdot y + x\cdot y' = y + x y'.
Substituindo na expressão anterior:
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{x y}\big)=\frac{1}{2}(x y)^{-1/2}\,(y + x y').

Passo 3

Agora o lado direito 3\sin(42 y). Aqui usamos a regra da cadeia: a derivada de \sin(t) é \cos(t) e t=42 y(x) tem derivada 42 y'. Então
\frac{d}{dx}\big(3\sin(42 y)\big)=3\cos(42 y)\cdot(42 y')=126\cos(42 y)\,y'.

Passo 4

Igualando as derivadas dos dois lados (já que derivamos a igualdade dada):
\frac{1}{2}(x y)^{-1/2}\,(y + x y') = 126\cos(42 y)\,y'.
Este é o ponto em que temos uma equação que envolve y'; agora vamos resolver algebricamente para isolar y'.

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por 2 (x y)^{1/2} para eliminar a fração:
y + x y' = 252\, (x y)^{1/2}\cos(42 y)\,y'.
Agora agrupamos os termos que contêm y' no mesmo lado:
x y' - 252\,(x y)^{1/2}\cos(42 y)\,y' = -y.
Fatorando y' à esquerda:
y'\big(x - 252\,(x y)^{1/2}\cos(42 y)\big) = -y.

Passo 6

Isolando y' dividindo pelos fatores restantes:
y' = \frac{-y}{\,x - 252\,(x y)^{1/2}\cos(42 y)\,}.
Podemos escrever (x y)^{1/2} como \sqrt{x y} para ficar na mesma notação do enunciado:
y' = -\dfrac{y}{\,x - 252\sqrt{x y}\,\cos(42 y)\,}.

Resposta

y' = -\dfrac{y}{x - 252\sqrt{x y}\cos(42 y)}

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