Questão: Sabendo que
, derive implicitamente e encontre
função de
e
Passo 1
O enunciado dá a relação entre
e
(sabendo que
é função de
):
O que nos pedem: encontrar
(ou seja,
) expresso em função de
e
.
Informações relevantes dadas:
- Temos
. -
é função de , isto é, (portanto ao diferenciar termos com aparece ). - Queremos isolar
em termos de e .
Passo 2
Vamos diferenciar ambos os lados em relação a
. Antes de começar, lembrando as regras que vamos usar:
- Regra da cadeia: se
e , então . - Regra do produto: se
, então .
Aplicamos isso ao lado esquerdo
. Tomando
e
, temos
Agora calculamos
usando a regra do produto (com
e
):
Substituindo na expressão anterior:
Passo 3
Agora o lado direito
. Aqui usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
e
tem derivada
. Então
Passo 4
Igualando as derivadas dos dois lados (já que derivamos a igualdade dada):
Este é o ponto em que temos uma equação que envolve
; agora vamos resolver algebricamente para isolar
.
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar a fração:
Agora agrupamos os termos que contêm
no mesmo lado:
Fatorando
à esquerda:
Passo 6
Isolando
dividindo pelos fatores restantes:
Podemos escrever
como
para ficar na mesma notação do enunciado: