Questão: Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
definida por
Informações relevantes que o enunciado nos dá:
A tarefa é calcular
(a derivada) em todos os pontos da reta real — isto inclui verificar o comportamento em
, onde a função valor absoluto costuma causar mudança de expressão.
Passo 2
Vamos reescrever
Agora substituímos em (x-|x|].]
Passo 3
Calcule
em cada caso:
Para
:
Portanto, para
,
Para
:
Portanto, para
,
Resumo (peça que vamos usar para derivar):
Passo 4
Antes de derivar, lembre das regras que vamos usar (com explicações simples):
Regra 1 — derivada da exponencial composta: se
Isto é a regra da cadeia aplicada à função exponencial. Aqui
é a derivada da parte do expoente.
Regra 2 — derivada de constantes: se
é constante, então
Regra 3 — derivada do valor absoluto (explicação de por que vamos separar casos): para
,
e em
não existe (os limites laterais diferem). Por isso tratamos
separadamente.]
Passo 5
Derivada para
(note: tratamos
em vez de
porque a derivada em
precisa de atenção especial):
Para
já vimos que
(constante). Usando Regra 2,
(Intuição: função constante não muda, inclinação zero.)
Passo 6
Derivada para
:
Para
temos
. Aplicamos a Regra 1 com
. Primeiro calcule
:
Agora
Mostrei cada passo: derivada do expoente vezes a própria exponencial.
Passo 7
Derivada em
: verificar existência
Para verificar se
é diferenciável em
calculamos as derivadas laterais.
Derivada pela direita (limite em direção a
): para
temos
. Assim
Derivada pela esquerda (limite em direção a
): para
temos
. Então
Como
e
são diferentes, a derivada em
não existe. Observação útil: a própria função
é contínua em
porque ambos os lados dão
, mas a derivada falha em existir por causa da mudança brusca de inclinação.
Passo 8
Conclusão final — juntando os resultados das regiões e a análise em
:
Para
:
.
Para
:
.
Em
:
não existe porque os limites laterais das derivadas são diferentes.