Questão: Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=e^{-(x-|x|)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f definida por
f(x)=e^{-(x-|x|)}.
Informações relevantes que o enunciado nos dá:
\text{1) } f(x)=e^{-(x-|x|)}\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
\text{2) A presença de }|x|\text{ indica que a expressão pode ter comportamentos diferentes para }x\ge 0\text{ e }x<0.çã
A tarefa é calcular f'(x) (a derivada) em todos os pontos da reta real — isto inclui verificar o comportamento em x=0, onde a função valor absoluto costuma causar mudança de expressão.

Passo 2

Vamos reescrever f(x)\) em formas mais simples, separando os casos \(x\ge 0\) e \(x<0\), usando a definição do módulo: \[|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\[4pt] -x, & x<0. \end{cases}
Agora substituímos em (x-|x|].]

Passo 3

Calcule x-|x| em cada caso:
Para x\ge 0:
x-|x| = x - x = 0.
Portanto, para x\ge 0,
f(x)=e^{-(x-|x|)}=e^{0}=1.
Para x<0:
x-|x| = x - (-x)=x+x=2x.
Portanto, para x<0,
f(x)=e^{-(x-|x|)}=e^{-2x}.
Resumo (peça que vamos usar para derivar):
f(x)=\begin{cases} 1, & x\ge 0,\\[4pt] e^{-2x}, & x<0. \end{cases}]

Passo 4

Antes de derivar, lembre das regras que vamos usar (com explicações simples):
Regra 1 — derivada da exponencial composta: se g(x)\) é diferenciável, então \[\frac{d}{dx} e^{g(x)} = g'(x)\,e^{g(x)}.
Isto é a regra da cadeia aplicada à função exponencial. Aqui g'(x) é a derivada da parte do expoente.
Regra 2 — derivada de constantes: se c é constante, então
\frac{d}{dx} c = 0.
Regra 3 — derivada do valor absoluto (explicação de por que vamos separar casos): para x\neq 0,
\frac{d}{dx}|x|=\begin{cases} 1, & x>0,\\[4pt] -1, & x<0, \end{cases}
e em x=0\] a derivada de \(|x| não existe (os limites laterais diferem). Por isso tratamos x=0 separadamente.]

Passo 5

Derivada para x>0 (note: tratamos x>0 em vez de x\ge 0 porque a derivada em 0 precisa de atenção especial):
Para x>0 já vimos que f(x)=1 (constante). Usando Regra 2,
f'(x)=0\quad\text{para }x>0.
(Intuição: função constante não muda, inclinação zero.)

Passo 6

Derivada para x<0:
Para x<0 temos f(x)=e^{-2x}. Aplicamos a Regra 1 com g(x)=-2x. Primeiro calcule g'(x):
g'(x)=\frac{d}{dx}(-2x)=-2.
Agora
f'(x)=g'(x)\,e^{g(x)} = (-2)\,e^{-2x} = -2e^{-2x}\quad\text{para }x<0.
Mostrei cada passo: derivada do expoente vezes a própria exponencial.

Passo 7

Derivada em x=0: verificar existência
Para verificar se f é diferenciável em 0 calculamos as derivadas laterais.
Derivada pela direita (limite em direção a 0^+): para x>0 temos f'(x)=0. Assim
f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+} f'(x)=0.
Derivada pela esquerda (limite em direção a 0^-): para x<0 temos f'(x)=-2e^{-2x}. Então
f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-} (-2e^{-2x}) = -2e^{0} = -2.
Como f'_+(0)=0 e f'_-(0)=-2 são diferentes, a derivada em 0 não existe. Observação útil: a própria função f é contínua em 0 porque ambos os lados dão f(0)=1, mas a derivada falha em existir por causa da mudança brusca de inclinação.

Passo 8

Conclusão final — juntando os resultados das regiões e a análise em 0:
Para x<0: f'(x)=-2e^{-2x}.
Para x>0: f'(x)=0.
Em x=0: f'(0) não existe porque os limites laterais das derivadas são diferentes.

Resposta

f'(x)=\begin{cases} -2e^{-2x}, & x<0,\\[6pt] \text{não existe}, & x=0,\\[6pt] 0, & x>0. \end{cases}ã]

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