Questão 2.0 - São necessários 0,3625 \mathrm{~g} de nitrogênio para encher um cilindro a 298,2 \mathrm{~K} e 0,0100 bar. São necessários 0,9175 \mathrm{~g} de um gás diatômico homonuclear para encher o mesmo tubo nas mesmas condições. Qual é o gás desconhecido?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo aqui é importante, vou repetir devagarinho):\n
  • Massa necessária de nitrogênio para encher o cilindro: m_{\mathrm{N}_2}=0,3625\\ \mathrm{g}.\n
  • Massa necessária do gás desconhecido (diatômico homonuclear) nas mesmas condições para encher o mesmo cilindro: m_{\text{unk}}=0,9175\\ \mathrm{g}.\n
  • Temperatura: T=298{,}2\\ \mathrm{K}.\n
  • Pressão: p=0{,}0100\\ \mathrm{bar}.\n
  • É o mesmo cilindro e as mesmas condições de p e T, logo o volume V é o mesmo nas duas situações.\n
    O que o problema pede: identificar qual é o gás desconhecido (sabendo que é diatômico e homonuclear) usando os dados acima.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática e beeem passo a passo):\n
A equação dos gases ideais é
pV = nRT.
Aqui:\n
  • p é a pressão (aqui em \mathrm{bar});\n
  • V é o volume do cilindro (o mesmo nos dois casos);\n
  • n é o número de mols do gás;\n
  • R é a constante universal dos gases (valor depende das unidades, mas não precisaremos usá-la numericamente);\n
  • T é a temperatura (em \mathrm{K}).\n
    Dado que p, V e T são iguais nas duas situações, a quantidade de mols dentro do cilindro é a mesma para os dois gases. Ou seja:
n_{\mathrm{N}_2} = n_{\text{unk}}.

Passo 3

Ligar número de mols com massa e massa molar (conceito):\n
O número de mols n de uma substância é a massa dividida pela massa molar:
n = \frac{m}{M},
onde m é a massa (em gramas) e M é a massa molar (em \mathrm{g\cdot mol^{-1}}).\n
Aplicando ao nosso caso, a igualdade de mols vira
\frac{m_{\mathrm{N}_2}}{M_{\mathrm{N}_2}}=\frac{m_{\text{unk}}}{M_{\text{unk}}}.

Passo 4

Isolar a massa molar do gás desconhecido (álgebra simples):\n
Da igualdade acima temos
M_{\text{unk}} = m_{\text{unk}}\cdot\frac{M_{\mathrm{N}_2}}{m_{\mathrm{N}_2}}.
Isso significa: a massa molar do gás desconhecido é a massa do gás desconhecido multiplicada pela razão entre a massa molar do \mathrm{N}_2 e a massa de \mathrm{N}_2 usada.

Passo 5

Valor da massa molar do \mathrm{N}_2 e substituição numérica (passo a passo nas contas):\n
Usamos a massa atômica do nitrogênio como 14{,}01\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}} (valor usual em tabelas), logo
M_{\mathrm{N}_2}=2\times 14{,}01 = 28{,}02\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
Agora substituímos na fórmula:
M_{\text{unk}} = 0{,}9175\\ \mathrm{g}\times\frac{28{,}02\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}}{0{,}3625\\ \mathrm{g}}.
Faço a divisão primeiro:
\frac{28{,}02}{0{,}3625}\approx 77{,}317241379\ldots
Agora multiplico por 0{,}9175:
M_{\text{unk}}\approx 77{,}317241379\times 0{,}9175\approx 70{,}94\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}
(arredondei para quatro algarismos significativos, compatível com os dados fornecidos).

Passo 6

Interpretando o resultado e conectando com a pista “diatômico homonuclear”:\n
Se o gás é diatômico homonuclear, a molécula tem massa molar M_{\text{unk}}=2\times A, onde A é a massa atômica do elemento (em \mathrm{g\cdot mol^{-1}}).\n
Da conta acima temos M_{\text{unk}}\approx 70{,}94\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}, então a massa atômica estimada do elemento é
A\approx \frac{70{,}94}{2}=35{,}47\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
O elemento com massa atômica aproximadamente 35{,}45\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}} na tabela periódica é o cloro. A forma diatômica homonuclear é \mathrm{Cl}_2, cuja massa molar tabulada é cerca de 70{,}90\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}. Isso coincide com o valor que encontramos (diferenças pequenas vêm de arredondamentos das massas atômicas).

Resposta

\mathrm{Cl}_2

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