Questão 1.0 - É conhecido dos curso de química geral que a lei de Dalton das pressões parciais diz que a pressão total de uma mistura de gases e a soma de suas pressões parciais, como se um gás não interagisse com o outro. Use esse fato para mostrar através da equação dos gases ideais que a pressão parcial exercida por cada gás é dada pela fórmula abaixo:
P_{j}=\left(\frac{n_{j}}{\sum n_{j}}\right) P_{\text {total }}=y_{j} P_{\text {total }}
onde P_{j} é a pressão parcial do gás j e y_{j} é a fração molar.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a equação dos gases ideais e a lei de Dalton das pressões parciais, que a pressão parcial de cada componente de uma mistura é
P_{j}=\left(\frac{n_{j}}{\sum n_{j}}\right)P_{\text{total}}=y_{j}P_{\text{total}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • É dada uma mistura de gases em um mesmo volume V e à mesma temperatura T.
  • Para cada gás j há um número de mols n_{j}.
  • A pressão total da mistura é P_{\text{total}}.
  • A lei de Dalton afirma que a pressão total é a soma das pressões parciais: \displaystyle P_{\text{total}}=\sum_{j}P_{j}.
  • O objetivo é deduzir algebraicamente a expressão para P_{j} em termos de n_{j}, da soma \sum_{j}n_{j} e de P_{\text{total}}, e identificar a fração molar y_{j}.

Passo 2

Apresentar a equação dos gases ideais e explicar cada símbolo (a “aula rápida” que você pediu).
A equação dos gases ideais é
PV=nRT.
Significado dos símbolos:
  • P é a pressão do gás (unidades compatíveis com R);
  • V é o volume ocupado pelo gás;
  • n é o número de mols do gás;
  • R é a constante dos gases ideais (por exemplo, R=0{,}08206\\ \text{L·atm·mol}^{-1}\text{·K}^{-1} se usar atm e L);
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
    Interpretação prática: para um gás ideal, a pressão é proporcional ao número de mols quando V e T são fixos, porque P=\dfrac{nRT}{V}.

Passo 3

Aplicar a equação dos gases ideais ao gás j considerado sozinho (definição de pressão parcial).
A pressão parcial P_{j} é a pressão que o gás j exerceria se ocupasse sozinho o volume V à mesma temperatura T. Usando a equação dos gases ideais para esse gás:
P_{j}V=n_{j}RT.
Isolando P_{j} obtemos
P_{j}=\frac{n_{j}RT}{V}.
Aqui n_{j} é o número de mols do componente j, e R,T,V são os mesmos para todos os gases da mistura porque estão no mesmo recipiente à mesma temperatura.

Passo 4

Escrever a pressão total usando a soma das pressões parciais (lei de Dalton) e a equação dos gases para cada componente.
Pela lei de Dalton:
P_{\text{total}}=\sum_{j}P_{j}.
Substituindo P_{j}=\dfrac{n_{j}RT}{V} na soma, temos
P_{\text{total}}=\sum_{j}\frac{n_{j}RT}{V}.
Como R, T e V são constantes comuns a todos os termos, podemos colocá-los em evidência:
P_{\text{total}}=\frac{RT}{V}\sum_{j}n_{j}.

Passo 5

Fazer a manipulação algébrica que leva à fórmula desejada.
Temos de um lado
P_{j}=\frac{n_{j}RT}{V}
e do outro
P_{\text{total}}=\frac{RT}{V}\sum_{j}n_{j}.
Dividindo a expressão de P_{j} pela de P_{\text{total}} (ou isolando \dfrac{RT}{V} e substituindo), obtemos
\frac{P_{j}}{P_{\text{total}}}=\frac{\dfrac{n_{j}RT}{V}}{\dfrac{RT}{V}\sum_{j}n_{j}}=\frac{n_{j}}{\sum_{j}n_{j}}.
Multiplicando ambos os lados por P_{\text{total}} segue
P_{j}=\left(\frac{n_{j}}{\sum_{j}n_{j}}\right)P_{\text{total}}.

Passo 6

Definir a fração molar y_{j} e reescrever a fórmula de maneira compacta.
A fração molar do componente j é definida como
y_{j}=\frac{n_{j}}{\sum_{k}n_{k}}.
Usando essa definição na expressão anterior temos a forma final:
P_{j}=y_{j}P_{\text{total}}.

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para fixar e mostrar que os dois lados conferem).
Suponha dois gases com n_{1}=2 mol e n_{2}=3 mol no mesmo volume e temperatura. Então \sum_{j}n_{j}=2+3=5 mol e as frações molares são y_{1}=\dfrac{2}{5}=0{,}4 e y_{2}=\dfrac{3}{5}=0{,}6.
Se a pressão total medida for P_{\text{total}}=1{,}0\\ \text{atm}, então por P_{1}=y_{1}P_{\text{total}} obtemos P_{1}=0{,}4\\ \text{atm} e P_{2}=0{,}6\\ \text{atm}.
Alternativamente, calculando pelo ideal diretamente: P_{1}=\dfrac{n_{1}RT}{V} e P_{\text{total}}=\dfrac{(n_{1}+n_{2})RT}{V} levam à mesma razão P_{1}/P_{\text{total}}=2/5, então as duas abordagens conferem.

Passo 8

Dica de prova — como usar isso rapidamente no exame.
  • Se te derem n_{j} e P_{\text{total}}, calcule a fração molar y_{j}=\dfrac{n_{j}}{\sum n_{j}} e multiplique por P_{\text{total}}.
  • Se te derem P_{j} e n_{j} e pedirem P_{\text{total}}, some as pressões parciais ou use P_{\text{total}}=\dfrac{\sum n_{j}}{n_{j}}P_{j}.
  • Lembre que a chave é que todos os gases estão no mesmo V e T, permitindo fatorar \dfrac{RT}{V}.

Resposta

P_{j}=\left(\frac{n_{j}}{\sum_{j}n_{j}}\right)P_{\text{total}}=y_{j}P_{\text{total}}

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