Quais são as variações de entropia para o aquecimento de um mol de
de
a 100 K até
a 600 K se o processo é conduzido: (1) reversivelmente; (2) irreversivelmente, colocando o gás num forno a 750 K e deixando-o expandir contra uma pressão externa constante de
? Admita que para o
:
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (um mol de
) e pede as variações de entropia ao aquecer de um estado inicial para um final:
-
Estado inicial:
-
mol, -
, -
.
-
-
Estado final:
-
, -
.
-
-
Capacidade calorífica molar a volume constante (função de
) dada: -
Dois cenários a analisar:
- Processo conduzido reversivelmente (entre os dois estados mencionados).
- Processo irreversível: colocar o gás num forno a
e deixá-lo expandir contra pressão externa constante .
O que é pedido (interpretação do enunciado):
- Calcular a variação de entropia do gás no caso reversível (1).
- No caso irreversível (2), calcular as variações de entropia relevantes: a variação do gás, a variação do reservatório (forno) e a variação total do universo. (Isto faz sentido porque o enunciado fornece a temperatura do forno, que permite calcular a entropia do reservatório.)
Passo 2
Princípios e fórmulas que vamos usar (explicação didática curta e necessária):
- Entropia é uma função de estado: a variação de entropia do sistema entre dois estados de equilíbrio independe do caminho real. Para um gás ideal monofásico vale a relação diferencial derivada da primeira lei e da equação de estado:
Para gás ideal, e . Substituindo e dividindo por obtemos: Isso é muito útil porque separa a contribuição térmica e a contribuição volumétrica . - Para 1 mol, integremos diretamente:
- Constante dos gases: usarei
. - Para calcular a entropia do reservatório (forno) que está a temperatura constante
, usaremos: porque o calor perdido pelo forno é ganho pelo sistema. Aqui é o calor absorvido pelo gás durante o processo irreversível. - Para obter
no processo irreversível com constante fazemos balanço de energia: onde é o trabalho feito sobre o sistema. Para expansão contra pressão externa constante, (sinal: se o sistema se expande, e ). Assim - Energia interna para gás ideal:
.
Vou aplicar tudo isso passo a passo.
Passo 3
Cálculo da variação de entropia do gás entre
e
usando a fórmula geral.
Primeiro, escrevo em forma de polinômio:
Primeiro, escrevo
com
Agora a integral
se separa:
Cada integral é elementar:
Agora substituo números (todas as temperaturas em K):
-
Termo logarítmico:Numéricamente,
. Logo -
Termo linear:
-
Termo quadrático:Aqui
. Assim
Somando estes três termos:
Passo 4
Agora a contribuição volumétrica
:
Com
,
Passo 5
Somando as contribuições térmica e volumétrica obtemos a variação de entropia do gás (para 1 mol) entre os estados dados:
Arredondando de forma razoável:
.
Comentário pedagógico: por ser função de estado, este valor vale tanto para um caminho reversível quanto para qualquer outro caminho que leve do mesmo estado inicial ao mesmo final; portanto, mesmo no caso (2) irreversível a variação de entropia do gás será a mesma.
Passo 6
Agora tratamos o caso (2) irreversível em detalhe para obter também as variações de entropia do forno e do universo.
Primeiro calculamos
do gás entre
e
:
Substituindo os números:
-
-
-
Aqui. Assim
Somando:
Passo 7
Calcular o trabalho realizado contra a pressão externa constante
. O volume varia
Trabalho (trabalho feito sobre o sistema) é
. Aqui é mais prático usar a expressão para o calor absorvido:
Calcule
:
Logo
Interpretação: o gás absorveu
de calor do forno durante o processo irreversível.
Passo 8
Entropia do forno (reservatório térmico a
):
Passo 9
Variação total de entropia do universo no processo irreversível:
Observação:
, conforme esperado para um processo irreversível.
Resposta
(1)
(processo reversível; para um processo reversível idealmente
).
(2) ;
;
.
(2)