Uma curva \mathcal{C} é definida pelas equações paramétricas: x=t^{2}+1, y=t^{2}+t.
a) (4 pontos) Encontre os pontos em \mathcal{C} onde a tangente é horizontal e onde a tangente é vertical.
b) (4 pontos) Para quais valores de t a curva \mathcal{C} é côncava para cima?

Passo 1

O enunciado dá uma curva \mathcal{C} definida por \r
x = t^{2} + 1,\quad y = t^{2} + t\r
e pede em (a) os pontos onde a tangente é horizontal e vertical e em (b) para quais valores de t a curva é côncava para cima. Vamos usar derivadas paramétricas e a segunda derivada para analisar concavidade.

Passo 2

Calculamos as derivadas em relação a t: \r
x'(t) = \frac{dx}{dt} = 2t,\quad y'(t) = \frac{dy}{dt} = 2t + 1.\r
Assim, a derivada \frac{dy}{dx} vale\r
\frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)} = \frac{2t + 1}{2t}.

Passo 3

Para tangente horizontal é preciso \frac{dy}{dx}=0 com x'(t)\neq0. Logo\r
2t + 1 = 0 \implies t = -\tfrac12,\r
e 2t\neq0 confirma que é permitido. O ponto correspondente é\r
x\bigl(-\tfrac12\bigr) = \bigl(-\tfrac12\bigr)^{2} + 1 = \tfrac54,\quad y\bigl(-\tfrac12\bigr) = \tfrac14 - \tfrac12 = -\tfrac14.\r
Portanto, tangente horizontal em \bigl(\tfrac54,\,-\tfrac14\bigr).

Passo 4

Para tangente vertical precisamos x'(t)=0 e y'(t)\neq0. Daí\r
2t = 0 \implies t = 0,\r
e então 2t+1 = 1\neq0. O ponto é\r
x(0)=1,\quad y(0)=0.\r
Logo, tangente vertical em (1,0).

Passo 5

Para concavidade usamos a segunda derivada\r
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{x'(t)\,y''(t) - y'(t)\,x''(t)}{\bigl(x'(t)\bigr)^{3}}.\r
Como x''(t)=2 e y''(t)=2, substituindo:\r
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{(2t)\cdot 2 - (2t+1)\cdot 2}{(2t)^{3}} = \frac{4t - 4t - 2}{8t^{3}} = -\frac{1}{4\,t^{3}}.

Passo 6

Côncava para cima quando \tfrac{d^{2}y}{dx^{2}}>0, ou seja\r
-\frac{1}{4\,t^{3}} > 0 \;\Longrightarrow\; t^{3} < 0 \;\Longrightarrow\; t < 0.

Resposta

(a) Tangente horizontal em \bigl(\tfrac54,\,-\tfrac14\bigr) (em t=-\tfrac12); \r
tangente vertical em (1,0) (em t=0). \r
(b) A curva é côncava para cima para todos os t<0.

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