Uma curva
é definida pelas equações paramétricas:
.
a) (4 pontos) Encontre os pontos em
onde a tangente é horizontal e onde a tangente é vertical.
b) (4 pontos) Para quais valores de
a curva
é côncava para cima?
a) (4 pontos) Encontre os pontos em
b) (4 pontos) Para quais valores de
Passo 1
O enunciado dá uma curva
definida por \r
e pede em (a) os pontos onde a tangente é horizontal e vertical e em (b) para quais valores de
a curva é côncava para cima. Vamos usar derivadas paramétricas e a segunda derivada para analisar concavidade.
Passo 2
Calculamos as derivadas em relação a
: \r
Assim, a derivada
vale\r
Passo 3
Para tangente horizontal é preciso
com
. Logo\r
e
confirma que é permitido. O ponto correspondente é\r
Portanto, tangente horizontal em
.
Passo 4
Para tangente vertical precisamos
e
. Daí\r
e então
. O ponto é\r
Logo, tangente vertical em
.
Passo 5
Para concavidade usamos a segunda derivada\r
Como
e
, substituindo:\r
Passo 6
Côncava para cima quando
, ou seja\r
Resposta
(a) Tangente horizontal em
(em
); \r
tangente vertical em (em
). \r
(b) A curva é côncava para cima para todos os .
tangente vertical em
(b) A curva é côncava para cima para todos os