(Questão 9 - Seção 5.4 - Magalhães) Considere que
são variáveis aleatórias discretas e independentes. Usando função geradora de momentos, determine a distribuição da soma
, nos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado dá que
são variáveis aleatórias discretas, independentes, com
A pergunta é: usando função geradora de momentos (mgf), determinar a distribuição da soma
Listando as informações relevantes: independência das
e que cada
é Poisson com parâmetro
. Nada mais é pedido além de identificar a distribuição de
.
Passo 2
Vou lembrar o que é e uma propriedade fundamental da mgf que vamos usar. A função geradora de momentos (mgf) de uma variável aleatória
é definida por
desde que essa expectativa exista num intervalo de
contendo
. Uma propriedade crucial: se
e
são independentes então
Prova rápida dessa propriedade (para reforçar a intuição):
. Como
e
são funções das variáveis independentes
e
, a esperança do produto fatoriza em produto das esperanças, dando
. Para
variáveis independentes a propriedade estende-se multiplicando as mgfs de cada uma:
É esse fato que vamos usar.
Passo 3
Agora calculemos a mgf de uma variável
. Se
então
para
. Assim
Fatorando
e reagrupando:
A série
. Aplicando com
obtemos
Portanto a mgf de
é
.
Passo 4
Use a propriedade multiplicativa da mgf para a soma
. Como as
são independentes,
Cada
vale
pelo passo anterior. Assim
Se definirmos
, então
Passo 5
Reconhecemos a mgf encontrada: ela é exatamente a mgf de uma
, pois conforme o passo 3 a mgf de
é
. Pelo teorema de unicidade da mgf (quando a mgf existe num intervalo de
contendo
, ela determina de forma única a distribuição), concluímos que a distribuição de
é
com
. Nota: para variáveis de Poisson a mgf existe para todo
, então a unicidade aplica-se sem problema.
Passo 6
Escrevendo a função massa de probabilidade (pmf) final de forma explícita: para
,
Interpretação rápida e informal: somar variáveis Poisson independentes é como juntar contagens independentes; as médias (parâmetros
) somam e o resultado é outra Poisson com parâmetro igual à soma das médias. Você pode usar isso na prova direto mostrando a mgf ou lembrando desta propriedade padrão.