Dados os planos π1: x-y+2 z=1, π2: x+2 y-z=3 e π3: x+2 y-3 z=2 e as retas r1: x=y-12=z-1 e r2: x=y+2=z+1. Determine:
os pontos da reta r1 que equidistam dos planos π1 e π2;

Passo 1

O enunciado dá os planos
pi1:x - y + 2z = 1 e pi2:x + 2y - z = 3
e a reta
r1:;x=y-12=z-1.
Queremos os pontos em r1 que estão à mesma distância de pi1 e de pi2.
O conteúdo aqui é geometria analítica em R^3: vamos parametrizar r1 e usar a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Parametrizamos r1 definindo um parâmetro t de modo que
x = t, y-12=t, z-1=t
Da segunda e terceira igualdades vem
y-1 = 2t ;Longrightarrow; y = 2t+1, z-1 = t ;Longrightarrow; z = t+1
Logo um ponto genérico de r1 é
P(t) = l(t,;2t+1,;t+1r)

Passo 3

A distância de um ponto P(x,y,z) ao plano pi1:x - y + 2z -1=0 é
d1(t) =l|,x - y + 2z -1,r|raiz1^2+(-1)^2+2^2 =l|,t - (2t+1) +2(t+1) -1,r|raiz6
Simplificando o numerador:
t -2t -1 +2t +2 -1 = t
Então
d1(t)=|t|raiz6

Passo 4

A distância de P(t) ao plano pi2:x +2y -z -3=0 é
d2(t) =l|,x +2y -z -3,r|raiz1^2+2^2+(-1)^2 =l|,t +2(2t+1) - (t+1) -3,r|raiz6
No numerador:
t +4t+2 -t -1 -3 = 4t -2
Logo
d2(t)=|4t -2|raiz6

Passo 5

Queremos d1(t)=d2(t). Como o denominador raiz6 é comum, basta
|t| = |4t - 2|
Elevando ao quadrado:
t^2 = (4t -2)^2 = 16t^2 -16t +4 ;Longrightarrow; 0 = 15t^2 -16t +4

Passo 6

Resolvendo 15t^2 -16t +4=0 pela fórmula de Bhaskara:
t = 16 pm raiz(-16)^2 -4cdot15cdot42cdot15 = 16 pm raiz256 -24030 = 16 pm 430
Logo
t1 = 16+430 = 2030 = 23, t2 = 16-430 = 1230 = 25

Passo 7

Substituímos cada t em P(t)=(t,2t+1,t+1):
  • Para t1=tfrac23:
Pl(tfrac23r) =l(tfrac23,,2cdottfrac23+1,,tfrac23+1r) =l(tfrac23,,tfrac73,,tfrac53r)
  • Para t2=tfrac25:
Pl(tfrac25r) =l(tfrac25,,2cdottfrac25+1,,tfrac25+1r) =l(tfrac25,,tfrac95,,tfrac75r)

Resposta

Os pontos de r1 equidistantes de pi1 e pi2 são
l(tfrac23,,tfrac73,,tfrac53r) e l(tfrac25,,tfrac95,,tfrac75r)

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