Questão 3 A seguir, cada item é dado um par de funções. Determine quais deles trazem funções iguais:
f: \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{R} tal que f(x)=1 e g: \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{R} tal que g(x)=\sqrt{\frac{x+1}{|x+1|}}

Passo 1

O enunciado dá duas funções com o mesmo domínio e contradomínio:
  • f: \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=1.
  • g: \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{R} definida por g(x)=\sqrt{\dfrac{x+1}{|x+1|}}.
A pergunta é: essas duas funções são iguais? (Isto é, vale f(x)=g(x) para todo x\in\mathbb{N}^{*}?)

Passo 2

Primeiro, lembrar o critério de igualdade entre funções: duas funções h_1 e h_2 são iguais se têm o mesmo domínio e contradomínio e, para todo x do domínio, h_1(x)=h_2(x). Aqui já temos que os domínios e contradomínios coincidem (ambas são \mathbb{N}^{*}\to\mathbb{R}). Logo basta verificar o valor de f(x) e g(x) para um x genérico em \mathbb{N}^{*}.

Passo 3

Analisar a expressão de g. Para x\in\mathbb{N}^{*} temos x\ge 1. Assim
x+1\ge 2>0.
Quando um número é positivo, o valor do módulo é ele próprio. Portanto, para todo x\in\mathbb{N}^{*},
|x+1|=x+1.

Passo 4

Substituindo |x+1|=x+1 na definição de g obtemos, para todo x\in\mathbb{N}^{*},
g(x)=\sqrt{\dfrac{x+1}{|x+1|}}=\sqrt{\dfrac{x+1}{x+1}}=\sqrt{1}.
A raiz quadrada principal de 1 é 1, ou seja, \sqrt{1}=1. Portanto
g(x)=1\quad\text{para todo }x\in\mathbb{N}^{*}.

Passo 5

Comparando com f, que vale f(x)=1 para todo x\in\mathbb{N}^{*}, concluímos que f(x)=g(x) para todo x\in\mathbb{N}^{*}. Assim as duas funções coincidem ponto a ponto e têm o mesmo domínio e contradomínio.

Passo 6

Exemplos numéricos rápidos só para confirmar a intuição:
  • Para x=1: g(1)=\sqrt{\dfrac{1+1}{|1+1|}}=\sqrt{\dfrac{2}{2}}=\sqrt{1}=1.
  • Para x=10: g(10)=\sqrt{\dfrac{11}{11}}=\sqrt{1}=1.
    Esses exemplos estão de acordo com a conclusão geral.

Resposta

f(x)=g(x)=1 para todo x\in\mathbb{N}^{*}, portanto f=g.

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