Questão 3 A seguir, cada item é dado um par de funções. Determine quais deles trazem funções iguais:
tal que
e
tal que
Passo 1
O enunciado dá duas funções com o mesmo domínio e contradomínio:
-
definida por . -
definida por .
A pergunta é: essas duas funções são iguais? (Isto é, vale
para todo
?)
Passo 2
Primeiro, lembrar o critério de igualdade entre funções: duas funções
e
são iguais se têm o mesmo domínio e contradomínio e, para todo
do domínio,
. Aqui já temos que os domínios e contradomínios coincidem (ambas são
). Logo basta verificar o valor de
e
para um
genérico em
.
Passo 3
Analisar a expressão de
. Para
temos
. Assim
Quando um número é positivo, o valor do módulo é ele próprio. Portanto, para todo
,
Passo 4
Substituindo
na definição de
obtemos, para todo
,
A raiz quadrada principal de
é
, ou seja,
. Portanto
Passo 5
Comparando com
, que vale
para todo
, concluímos que
para todo
. Assim as duas funções coincidem ponto a ponto e têm o mesmo domínio e contradomínio.
Passo 6
Exemplos numéricos rápidos só para confirmar a intuição:
- Para
: . - Para
: .
Esses exemplos estão de acordo com a conclusão geral.