Questão 3 A seguir, cada item é dado um par de funções. Determine quais deles trazem funções iguais:
f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} tal que f(x)=x+1 e g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{+}tal que g(x)=x+1;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado dá duas funções:
    • f:[0,1]\to\mathbb{R} tal que f(x)=x+1.
    • g:[0,1]\to\mathbb{R}^{+} tal que g(x)=x+1.
  • A pergunta é: essas duas funções são iguais?

Passo 2

Vamos fixar bem o que é uma função — de um jeito prático e sem mistério.
  • Uma função é dada por três peças importantes: o domínio, o contradomínio (ou codomínio) e a regra que associa cada elemento do domínio a exatamente um elemento do contradomínio.
  • Escrevemos isso como h: A \to B com uma regra h(x)=\text{algo}. Aqui:
    • A é o domínio (todos os x que podemos usar),
    • B é o contradomínio (onde os valores podem “morar”),
    • a regra diz como obter h(x) a partir de x.
Exemplo concreto para fixar a ideia: se p:\{0,1\}\to\mathbb{R} com p(0)=1 e p(1)=2, então a função é o trio “domínio \{0,1\}, contradomínio \mathbb{R}, regra dadas as imagens”. Se troco o contradomínio para \mathbb{R}^+= (0,\infty) mas as imagens continuam 1 e 2, a regra sobre os pontos do domínio é a mesma, porém os dois objetos (como funções) são ligeiramente diferentes se eu tratar o contradomínio como parte da definição.

Passo 3

Agora: o que significa dizer que duas funções são iguais?
Há duas maneiras que aparecem em livros:
  1. Definição mais rigorosa (a mais usada em muitos cursos): duas funções h_1: A\to B e h_2: A'\to B' são iguais se e somente se
    • A=A' (mesmo domínio),
    • B=B' (mesmo contradomínio),
    • e h_1(x)=h_2(x) para todo x\in A.
      Ou seja, domínio, contradomínio e regra têm de coincidir.
  2. Definição por gráfico (alguns autores): duas funções são consideradas iguais se têm o mesmo conjunto de pares \{(x,h(x))\} — isto é, se produzem a mesma imagem para cada x do domínio. Nesta visão o contradomínio não é parte essencial da igualdade; apenas importa o domínio e as imagens.
Eu vou usar a definição (1) — a que exige coincidência de domínio, contradomínio e regra — porque é a forma que costuma aparecer em provas e em muitos cursos de análise/álgebra, e parece a intenção da questão ao apresentar contradomínios diferentes ( \mathbb{R} e \mathbb{R}^+). Se quisermos, depois eu comento a outra visão.

Passo 4

Verificação passo a passo segundo a definição (1).
  • Comparar domínios:
    • Domínio de f é [0,1].
    • Domínio de g é [0,1].
    • Conclusão: os domínios coincidem.

Passo 5

  • Comparar regras (valores em cada x\in[0,1]):
    • Para qualquer x\in[0,1] temos f(x)=x+1 e g(x)=x+1.
    • Logo f(x)=g(x) para todo x\in[0,1].
    • Podemos também escrever a imagem comum: f([0,1])=g([0,1])=[1,2].

Passo 6

  • Comparar contradomínios:
    • Contradomínio de f é \mathbb{R}.
    • Contradomínio de g é \mathbb{R}^{+}.
    • Esses conjuntos não são iguais ( \mathbb{R}^{+}\subsetneq\mathbb{R} e, neste caso específico, \mathbb{R}^{+}\neq\mathbb{R}).

Passo 7

Conclusão segundo a definição rigorosa (1):
  • Como os contradomínios são diferentes, apesar de terem mesmo domínio e mesma regra, as funções f e g não são iguais quando se exige igualdade de domínio, contradomínio e regra. Portanto f\neq g sob essa definição.
Comentário extra (útil para a prova): se o enunciado usasse a definição por gráfico (2), então f e g seriam consideradas iguais porque produzem exatamente as mesmas imagens para cada x\in[0,1]. Por isso, em prova sempre cheque o que o professor/turma está usando: se a definição inclui o contradomínio como parte da função ou não. Dica prática: se vir contradomínios diferentes no enunciado, o objetivo costuma ser mostrar que as funções são diferentes.

Resposta

Não. f\neq g, pois têm o mesmo domínio e a mesma regra x\mapsto x+1 mas contradomínios diferentes: \mathbb{R} e \mathbb{R}^{+}.

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