Questão 3 A seguir, cada item é dado um par de funções. Determine quais deles trazem funções iguais:
tal que
e
tal que
;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado dá duas funções:
-
tal que . -
tal que .
-
- A pergunta é: essas duas funções são iguais?
Passo 2
Vamos fixar bem o que é uma função — de um jeito prático e sem mistério.
- Uma função é dada por três peças importantes: o domínio, o contradomínio (ou codomínio) e a regra que associa cada elemento do domínio a exatamente um elemento do contradomínio.
- Escrevemos isso como
com uma regra . Aqui: -
é o domínio (todos os que podemos usar), -
é o contradomínio (onde os valores podem “morar”), - a regra diz como obter
a partir de .
-
Exemplo concreto para fixar a ideia: se
com
e
, então a função é o trio “domínio
, contradomínio
, regra dadas as imagens”. Se troco o contradomínio para
mas as imagens continuam
e
, a regra sobre os pontos do domínio é a mesma, porém os dois objetos (como funções) são ligeiramente diferentes se eu tratar o contradomínio como parte da definição.
Passo 3
Agora: o que significa dizer que duas funções são iguais?
Há duas maneiras que aparecem em livros:
-
Definição mais rigorosa (a mais usada em muitos cursos): duas funções
e são iguais se e somente se -
(mesmo domínio), -
(mesmo contradomínio), - e
para todo .
Ou seja, domínio, contradomínio e regra têm de coincidir.
-
-
Definição por gráfico (alguns autores): duas funções são consideradas iguais se têm o mesmo conjunto de pares
— isto é, se produzem a mesma imagem para cada do domínio. Nesta visão o contradomínio não é parte essencial da igualdade; apenas importa o domínio e as imagens.
Eu vou usar a definição (1) — a que exige coincidência de domínio, contradomínio e regra — porque é a forma que costuma aparecer em provas e em muitos cursos de análise/álgebra, e parece a intenção da questão ao apresentar contradomínios diferentes (
e
). Se quisermos, depois eu comento a outra visão.
Passo 4
Verificação passo a passo segundo a definição (1).
- Comparar domínios:
-
Domínio de é . -
Domínio de é . - Conclusão: os domínios coincidem.
-
Passo 5
- Comparar regras (valores em cada
): - Para qualquer
temos e . - Logo
para todo . - Podemos também escrever a imagem comum:
.
- Para qualquer
Passo 6
- Comparar contradomínios:
- Contradomínio de
é . - Contradomínio de
é . - Esses conjuntos não são iguais (
e, neste caso específico, ).
- Contradomínio de
Passo 7
Conclusão segundo a definição rigorosa (1):
- Como os contradomínios são diferentes, apesar de terem mesmo domínio e mesma regra, as funções
e não são iguais quando se exige igualdade de domínio, contradomínio e regra. Portanto sob essa definição.
Comentário extra (útil para a prova): se o enunciado usasse a definição por gráfico (2), então
e
seriam consideradas iguais porque produzem exatamente as mesmas imagens para cada
. Por isso, em prova sempre cheque o que o professor/turma está usando: se a definição inclui o contradomínio como parte da função ou não. Dica prática: se vir contradomínios diferentes no enunciado, o objetivo costuma ser mostrar que as funções são diferentes.
Resposta
Não.
, pois têm o mesmo domínio e a mesma regra
mas contradomínios diferentes:
e
.