Questão 3 A seguir, cada item é dado um par de funções. Determine quais deles trazem funções iguais:
f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} tal que f(x)=x^{6} e g: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} tal que g(x)=x^{6}

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede para determinar se elas são iguais. Os dados são:
  • f:\mathbb{Q}\to\mathbb{R} definida por f(x)=x^{6}.
  • g:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q} definida por g(x)=x^{6}.
A pergunta clara: as funções f e g são iguais?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar (com calma) a definição precisa de igualdade de funções. Duas funções h_1 e h_2 são iguais se, e somente se, obedecem simultaneamente a três condições:
  1. têm o mesmo domínio;
  2. têm o mesmo contradomínio (codomínio);
  3. para todo x no domínio, os valores atribuídos são iguais: h_1(x)=h_2(x).
Em símbolos: se h_1:A\to B_1 e h_2:A\to B_2, então h_1=h_2 somente quando B_1=B_2 e \forall x\in A,\; h_1(x)=h_2(x).
Essa condição 2 é importante: mudar o contradomínio normalmente dá funções diferentes, mesmo que a fórmula seja a mesma.

Passo 3

Verificamos a condição 1 (domínios). Aqui:
  • domínio de f é \mathbb{Q};
  • domínio de g é \mathbb{Q}.
Portanto os domínios coincidem.

Passo 4

Verificamos a condição 2 (contradomínios). Aqui:
  • contradomínio de f é \mathbb{R};
  • contradomínio de g é \mathbb{Q}.
Como \mathbb{R}\neq\mathbb{Q}, os contradomínios são diferentes. Pela definição estrita de igualdade de funções, isso já basta para concluir que f e g não são iguais.

Passo 5

Para compreender bem o que está acontecendo, vamos checar a condição 3 (valores atribuídos) e algumas consequências úteis.
Se x\in\mathbb{Q} então x pode ser escrito como x=\dfrac{a}{b} com a,b\in\mathbb{Z}, b\neq0. Então
x^{6}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{6}=\dfrac{a^{6}}{b^{6}},
que é um número racional. Portanto, para todo x\in\mathbb{Q} tem-se x^{6}\in\mathbb{Q}. Em outras palavras, a imagem de ambos é um subconjunto de \mathbb{Q}.
Isto implica que, para cada x\in\mathbb{Q},
f(x)=x^{6}\quad\text{e}\quad g(x)=x^{6}
são o mesmo número (o mesmo elemento racional). Logo as duas funções dão exatamente o mesmo valor para cada entrada do domínio.

Passo 6

Resumo das três condições:
  • domínios: iguais ( \mathbb{Q});
  • valores ponto a ponto: iguais ( \forall x\in\mathbb{Q},\; f(x)=g(x));
  • contradomínios: diferentes ( \mathbb{R} versus \mathbb{Q}).
Pelo critério formal de igualdade de funções, a diferença de contradomínio impede que f e g sejam consideradas iguais. Mesmo que a lei de formação seja a mesma e os valores coincidam para todos os x, o contradomínio faz parte da identidade da função.

Passo 7

Observação útil para a prova: às vezes em contextos mais informais as pessoas dizem “as duas funções são iguais” quando querem dizer “têm a mesma lei de formação” ou “coincidem em todos os pontos do domínio”. Mas se o enunciado usa a noção formal de função (domínio + contradomínio + regra), então é obrigatório checar o contradomínio — e aí são diferentes. Essa é uma armadilha clássica em provas; vale destacar para não errar por desatenção.

Resposta

Não — as funções não são iguais: têm a mesma lei e o mesmo domínio, mas contradomínios diferentes ( \mathbb{R} e \mathbb{Q}), portanto são funções distintas.

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