Questão 3 A seguir, cada item é dado um par de funções. Determine quais deles trazem funções iguais:
tal que
e
tal que
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede para determinar se elas são iguais. Os dados são:
-
definida por . -
definida por .
A pergunta clara: as funções
e
são iguais?
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar (com calma) a definição precisa de igualdade de funções. Duas funções
e
são iguais se, e somente se, obedecem simultaneamente a três condições:
- têm o mesmo domínio;
- têm o mesmo contradomínio (codomínio);
- para todo
no domínio, os valores atribuídos são iguais: .
Em símbolos: se
e
, então
somente quando
e
.
Essa condição 2 é importante: mudar o contradomínio normalmente dá funções diferentes, mesmo que a fórmula seja a mesma.
Passo 3
Verificamos a condição 1 (domínios). Aqui:
- domínio de
é ; - domínio de
é .
Portanto os domínios coincidem.
Passo 4
Verificamos a condição 2 (contradomínios). Aqui:
- contradomínio de
é ; - contradomínio de
é .
Como
, os contradomínios são diferentes. Pela definição estrita de igualdade de funções, isso já basta para concluir que
e
não são iguais.
Passo 5
Para compreender bem o que está acontecendo, vamos checar a condição 3 (valores atribuídos) e algumas consequências úteis.
Se
então
pode ser escrito como
com
,
. Então
que é um número racional. Portanto, para todo
tem-se
. Em outras palavras, a imagem de ambos é um subconjunto de
.
Isto implica que, para cada
,
são o mesmo número (o mesmo elemento racional). Logo as duas funções dão exatamente o mesmo valor para cada entrada do domínio.
Passo 6
Resumo das três condições:
- domínios: iguais (
); - valores ponto a ponto: iguais (
); - contradomínios: diferentes (
versus ).
Pelo critério formal de igualdade de funções, a diferença de contradomínio impede que
e
sejam consideradas iguais. Mesmo que a lei de formação seja a mesma e os valores coincidam para todos os
, o contradomínio faz parte da identidade da função.
Passo 7
Observação útil para a prova: às vezes em contextos mais informais as pessoas dizem “as duas funções são iguais” quando querem dizer “têm a mesma lei de formação” ou “coincidem em todos os pontos do domínio”. Mas se o enunciado usa a noção formal de função (domínio + contradomínio + regra), então é obrigatório checar o contradomínio — e aí são diferentes. Essa é uma armadilha clássica em provas; vale destacar para não errar por desatenção.
Resposta
Não — as funções não são iguais: têm a mesma lei e o mesmo domínio, mas contradomínios diferentes (
e
), portanto são funções distintas.