Questão 3. Suponha que
e
são espaços vetoriais reais e que
é uma transformação bilinear.
(a) Se
é munido de um produto interno (e tem dimensão finita), mostre que existe uma única transformação linear
que satisfaz
para todos
e
;
(a) Se
Passo 1
O enunciado diz que
e
são espaços vetoriais reais, que
tem produto interno e dimensão finita, e que
é bilinear. Queremos mostrar que existe única transformação linear
tal que
para todo
,
. O conteúdo fundamental aqui é o Teorema de Riesz para espaços com produto interno.
Passo 2
Fixe um
qualquer e considere o funcional linear
Como
é bilinear,
é linear em
. Pelo Teorema de Riesz (válido em espaços com produto interno e dimensão finita), existe um único vetor
tal que
Definimos então
Passo 3
Vamos ver que
é linear. Dados
e escalar
, para todo
temos
Pelo Teorema de Riesz a representação por produto interno é única, logo
ou seja,
é linear.
Passo 4
Para a unicidade, suponha que exista outra transformação linear
com
Então para todo
e todo
vale
Como isso vale para todo
, pelo Teorema de Riesz
. Logo
para todo
, isto é,
.
Resposta
Definindo
obtém-se uma transformação linear
que satisfaz
e, pelo argumento acima, ela é única.