Questão 3. Suponha que E e F são espaços vetoriais reais e que f: E \times F \rightarrow \mathbb{R} é uma transformação bilinear.
(a) Se F é munido de um produto interno (e tem dimensão finita), mostre que existe uma única transformação linear A: E \rightarrow F que satisfaz
f(x, y)=\langle A x, y\rangle
para todos x \in E e y \in F;

Passo 1

O enunciado diz que E e F são espaços vetoriais reais, que F tem produto interno e dimensão finita, e que
f : E \times F \;\longrightarrow\;\mathbb{R}
é bilinear. Queremos mostrar que existe única transformação linear
A : E \;\longrightarrow\; F
tal que
f(x,y)=\langle A x,\,y\rangle
para todo x\in E, y\in F. O conteúdo fundamental aqui é o Teorema de Riesz para espaços com produto interno.

Passo 2

Fixe um x\in E qualquer e considere o funcional linear
\varphi_x : F \;\longrightarrow\;\mathbb{R}, \qquad \varphi_x(y)=f(x,y).
Como f é bilinear, \varphi_x é linear em y. Pelo Teorema de Riesz (válido em espaços com produto interno e dimensão finita), existe um único vetor u_x\in F tal que
\varphi_x(y)=\langle u_x,y\rangle \quad\text{para todo }y\in F.
Definimos então
A(x)=u_x.

Passo 3

Vamos ver que A:E\to F é linear. Dados x_1,x_2\in E e escalar \lambda\in\mathbb{R}, para todo y\in F temos
\langle A(x_1+\lambda x_2),y\rangle =f(x_1+\lambda x_2,y) =f(x_1,y)+\lambda\,f(x_2,y) =\langle A x_1,y\rangle+\lambda\langle A x_2,y\rangle =\langle A x_1+\lambda\,A x_2,y\rangle.
Pelo Teorema de Riesz a representação por produto interno é única, logo
A(x_1+\lambda x_2)=A x_1+\lambda\,A x_2,
ou seja, A é linear.

Passo 4

Para a unicidade, suponha que exista outra transformação linear B:E\to F com
f(x,y)=\langle Bx,y\rangle \quad\forall\,x,y.
Então para todo x e todo y vale
\langle (A-B)x,y\rangle =\langle A x,y\rangle-\langle B x,y\rangle =f(x,y)-f(x,y) =0.
Como isso vale para todo y, pelo Teorema de Riesz (A-B)x=0. Logo Ax=Bx para todo x, isto é, A=B.

Resposta

Definindo
A:E\to F, \quad A(x)=\text{único }u_x\in F\text{ tal que }f(x,y)=\langle u_x,y\rangle\;\forall y,ú
obtém-se uma transformação linear A que satisfaz
f(x,y)=\langle A x,y\rangle
e, pelo argumento acima, ela é única.

Exercícios relacionados