Questão 3. Suponha que E e F são espaços vetoriais reais e que f: E \times F \rightarrow \mathbb{R} é uma transformação bilinear.
(b) Se E é munido de um produto interno (e tem dimensão finita), mostre que existe uma única transformação linear B: F \rightarrow E que satisfaz
f(x, y)=\langle x, B y\rangle
para todos x \in E e y \in F.

Passo 1

O enunciado diz que E e F são espaços vetoriais reais, que E tem produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle e \dim E<\infty, e que
f\colon E\times F\to\mathbb{R}
é bilinear. Precisamos mostrar que existe e é única uma aplicação linear B\colon F\to E tal que
f(x,y)=\langle x,By\rangle
para todo x\in E e y\in F. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Representação de Riesz em espaços de dimensão finita.

Passo 2

Para cada vetor fixo y\in F, considere a aplicação
\varphi_y\colon E\to\mathbb{R}, \qquad \varphi_y(x)=f(x,y).
Como f é bilinear, \varphi_y é um funcional linear em E, ou seja, \varphi_y\in E^*.

Passo 3

Pelo Teorema de Riesz (valendo para todo espaço com produto interno e dimensão finita), existe um único vetor u\in E tal que
\varphi_y(x)=\langle x,u\rangle \quad\text{para todo }x\in E.
Definimos então
By := u.
Isso garante que, para cada y\in F,
f(x,y)=\varphi_y(x)=\langle x,By\rangle,
e assim construímos uma aplicação B\colon F\to E que satisfaz a identidade desejada.

Passo 4

Vamos mostrar que B é linear. Dados y_1,y_2\in F e escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R}, para todo x\in E vale
\langle x,B(\alpha y_1+\beta y_2)\rangle = f\bigl(x,\alpha y_1+\beta y_2\bigr) = \alpha\,f(x,y_1)+\beta\,f(x,y_2)
pelo que, usando a definição de B em cada termo,
\alpha\,f(x,y_1)+\beta\,f(x,y_2) = \alpha\,\langle x,By_1\rangle + \beta\,\langle x,By_2\rangle = \langle x,\alpha\,By_1+\beta\,By_2\rangle.
Como o Teorema de Riesz dá unicidade de representação, isso implica
B(\alpha y_1+\beta y_2) =\alpha\,By_1+\beta\,By_2,
ou seja, B é linear.

Passo 5

Para ver a unicidade de B, suponha que haja outra aplicação linear B'\colon F\to E tal que
\;f(x,y)=\langle x,B'y\rangle para todos x,y. Fixando y, ambas as igualdades
\varphi_y(x)=\langle x,By\rangle \quad\text{e}\quad \varphi_y(x)=\langle x,B'y\rangle
dizem que By e B'y são as representações de Riesz do mesmo funcional \varphi_y. A unicidade no Teorema de Riesz força By=B'y para todo y, logo B'=B.

Resposta

Existe exatamente uma transformação linear B\colon F\to E tal que
f(x,y)=\langle x,By\rangle
para todos x\in E e y\in F.

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