Questão 3. Suponha que
e
são espaços vetoriais reais e que
é uma transformação bilinear.
(b) Se
é munido de um produto interno (e tem dimensão finita), mostre que existe uma única transformação linear
que satisfaz
para todos
e
.
(b) Se
Passo 1
O enunciado diz que
e
são espaços vetoriais reais, que
tem produto interno
e
, e que
é bilinear. Precisamos mostrar que existe e é única uma aplicação linear
tal que
para todo
e
. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Representação de Riesz em espaços de dimensão finita.
Passo 2
Para cada vetor fixo
, considere a aplicação
Como
é bilinear,
é um funcional linear em
, ou seja,
.
Passo 3
Pelo Teorema de Riesz (valendo para todo espaço com produto interno e dimensão finita), existe um único vetor
tal que
Definimos então
Isso garante que, para cada
,
e assim construímos uma aplicação
que satisfaz a identidade desejada.
Passo 4
Vamos mostrar que
é linear. Dados
e escalares
, para todo
vale
pelo que, usando a definição de
em cada termo,
Como o Teorema de Riesz dá unicidade de representação, isso implica
ou seja,
é linear.
Passo 5
Para ver a unicidade de
, suponha que haja outra aplicação linear
tal que
para todos
. Fixando
, ambas as igualdades
dizem que
e
são as representações de Riesz do mesmo funcional
. A unicidade no Teorema de Riesz força
para todo
, logo
.
Resposta
Existe exatamente uma transformação linear
tal que
para todos
e
.