Questão 1: Considere a curva .
a) (1.0). Reparametrize pelo comprimento de arco;
b) (1.5). Obtenha os vetores e ;
c) . Obtenha a curvatura de ;
d) (0.5). Obtenha a torção de ;
e) (1.0). Obtenha as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre curvas no espaço! A curva que a gente tem é dada por para . A gente vai precisar usar conceitos de parametrização pelo comprimento de arco, vetores de Frenet (Tangente , Normal e Binormal ), curvatura, torção e componentes do vetor aceleração. Vamos passo a passo!
Passo 2
Parte a: Reparametrizar pelo comprimento de arco
Primeiro, vamos reparametrizar a curva pelo comprimento de arco. Para isso, a gente precisa encontrar a função do comprimento de arco .
Encontrar a velocidade :
Integrar a velocidade para achar :
Reparametrizar a curva:
Queremos expressar em função de . Como , temos .
Substituindo na curva original:
Passo 3
Parte b: Obter os vetores , e
Agora vamos encontrar os vetores de Frenet: Tangente , Normal e Binormal .
Encontrar :
O vetor tangente é a derivada da curva normalizada.
Encontrar :
O vetor normal é a derivada de normalizada.
Encontrar :
O vetor binormal é o produto vetorial de e .
Calculando o determinante:
B(t) = i(sin t cdot 45 sin t - (-45 cos t) cos t) - j(35 cos t cdot 45 sin t - (-45 cos t)(-35 sin t)) + k(35 cos t cdot cos t - sin t cdot (-35 sin t))
Simplificando:
B(t) = i(45 sin^2 t + 45 cos^2 t) - j(1225 cos t sin t - 1225 cos t sin t) + k(35 cos^2 t + 35 sin^2 t)
B(t) = i(45 (sin^2 t + cos^2 t)) - j(0) + k(35 (cos^2 t + sin^2 t))
B(t) = (45, 0, 35)
Passo 4
Parte c: Obter a curvatura de alpha
A curvatura kappa(t) mede o quanto a curva está “curvando” em cada ponto.
Fórmula da curvatura:
kappa(t) = |alpha'(t) times alpha''(t)||alpha'(t)|^3
Calcular alpha''(t):
alpha''(t) = (-3 sin t, 5 cos t, 4 sin t)
Calcular o produto vetorial alpha'(t) times alpha''(t):
alpha'(t) times alpha''(t) = i & j & k 3 cos t & 5 sin t & -4 cos t -3 sin t & 5 cos t & 4 sin t
= i(5 sin t cdot 4 sin t - (-4 cos t) cdot 5 cos t) - j(3 cos t cdot 4 sin t - (-4 cos t) cdot (-3 sin t)) + k(3 cos t cdot 5 cos t - 5 sin t cdot (-3 sin t))
= i(20 sin^2 t + 20 cos^2 t) - j(12 cos t sin t - 12 cos t sin t) + k(15 cos^2 t + 15 sin^2 t)
= (20 (sin^2 t + cos^2 t), 0, 15 (cos^2 t + sin^2 t)) = (20, 0, 15)
A torção tau(t) mede o quanto a curva está “girando” no espaço.
Fórmula da torção:
tau(t) = (alpha'(t) times alpha''(t)) cdot alpha'''(t)|alpha'(t) times alpha''(t)|^2
Calcular alpha'''(t):
alpha'''(t) = (-3 cos t, -5 sin t, 4 cos t)
Calcular o produto (alpha'(t) times alpha''(t)) cdot alpha'''(t):
(alpha'(t) times alpha''(t)) = (20, 0, 15)
(alpha'(t) times alpha''(t)) cdot alpha'''(t) = 20 cdot (-3 cos t) + 0 cdot (-5 sin t) + 15 cdot 4 cos t = -60 cos t + 60 cos t = 0
Calcular a torção:
|alpha'(t) times alpha''(t)|^2 = 25^2 = 625
tau(t) = 0625 = 0
Passo 6
Parte e: Obter as componentes tangencial e normal do vetor aceleração
O vetor aceleração $ \alpha’’(t) $ pode ser decomposto nas componentes tangencial e normal em relação à curva.
Vetor aceleração:
alpha''(t)
Componente tangencial $ a_T $:
A componente tangencial é a derivada da velocidade em relação ao tempo, mas como alpha''(t) = (-3 sin t, 5 cos t, 4 sin t) constante, a componente tangencial é zero:
aT
Componente normal $ a_N $:
Como $ a_T = 0 $, toda a aceleração é normal:
|alpha'(t)| = 5
Resposta
a) A reparametrização pelo comprimento de arco é alpha(s) = (3 sin(s5), 1 - 5 cos(s5), -4 sin(s5)).