Questão 1: Considere a curva alpha(t)=(3 sen t, 1-5 cos t,-4 sen t) ; t >= 0.
a) (1.0). Reparametrize alpha pelo comprimento de arco;
b) (1.5). Obtenha os vetores T(t), N(t) e B(t);
c) (0.5). Obtenha a curvatura de alpha;
d) (0.5). Obtenha a torção de alpha;
e) (1.0). Obtenha as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre curvas no espaço! A curva que a gente tem é dada por alpha(t) = (3 sin t, 1 - 5 cos t, -4 sin t) para t >= 0. A gente vai precisar usar conceitos de parametrização pelo comprimento de arco, vetores de Frenet (Tangente T, Normal N e Binormal B), curvatura, torção e componentes do vetor aceleração. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte a: Reparametrizar alpha pelo comprimento de arco
Primeiro, vamos reparametrizar a curva pelo comprimento de arco. Para isso, a gente precisa encontrar a função do comprimento de arco s(t).
  1. Encontrar a velocidade |alpha'(t)|:
    alpha'(t) = (3 cos t, 5 sin t, -4 cos t)
    |alpha'(t)| = raiz(3cos t)^2 + (5sin t)^2 + (-4cos t)^2 = raiz9cos^2 t + 25sin^2 t + 16cos^2 t = raiz25cos^2 t + 25sin^2 t = raiz25(cos^2 t + sin^2 t) = raiz25 = 5
  2. Integrar a velocidade para achar s(t):
    s(t) = integral0^t 5 , du = 5t
  3. Reparametrizar a curva:
    Queremos expressar t em função de s. Como s = 5t, temos t = s5.
    Substituindo na curva original:
    alpha(s) = (3 sin(s5), 1 - 5 cos(s5), -4 sin(s5))

Passo 3

Parte b: Obter os vetores T(t), N(t) e B(t)
Agora vamos encontrar os vetores de Frenet: Tangente T, Normal N e Binormal B.
  1. Encontrar T(t):
    O vetor tangente é a derivada da curva normalizada.
    alpha'(t) = (3 cos t, 5 sin t, -4 cos t)
    |alpha'(t)| = 5
    T(t) = alpha'(t)|alpha'(t)| = (3 cos t5, 5 sin t5, -4 cos t5) = (35 cos t, sin t, -45 cos t)
  2. Encontrar N(t):
    O vetor normal é a derivada de T(t) normalizada.
    T'(t) = (-35 sin t, cos t, 45 sin t)
    |T'(t)| = raiz(-35 sin t)^2 + (cos t)^2 + (45 sin t)^2 = raiz925 sin^2 t + cos^2 t + 1625 sin^2 t = raiz2525 sin^2 t + cos^2 t = raizsin^2 t + cos^2 t = 1
    N(t) = T'(t) = (-35 sin t, cos t, 45 sin t)
  3. Encontrar B(t):
    O vetor binormal é o produto vetorial de T(t) e N(t).
    B(t) = T(t) times N(t)
    Calculando o determinante:
    B(t) = i & j & k 35 cos t & sin t & -45 cos t -35 sin t & cos t & 45 sin t
    B(t) = i(sin t cdot 45 sin t - (-45 cos t) cos t) - j(35 cos t cdot 45 sin t - (-45 cos t)(-35 sin t)) + k(35 cos t cdot cos t - sin t cdot (-35 sin t))
    Simplificando:
    B(t) = i(45 sin^2 t + 45 cos^2 t) - j(1225 cos t sin t - 1225 cos t sin t) + k(35 cos^2 t + 35 sin^2 t)
    B(t) = i(45 (sin^2 t + cos^2 t)) - j(0) + k(35 (cos^2 t + sin^2 t))
    B(t) = (45, 0, 35)

Passo 4

Parte c: Obter a curvatura de alpha
A curvatura kappa(t) mede o quanto a curva está “curvando” em cada ponto.
  1. Fórmula da curvatura:
    kappa(t) = |alpha'(t) times alpha''(t)||alpha'(t)|^3
  2. Calcular alpha''(t):
    alpha''(t) = (-3 sin t, 5 cos t, 4 sin t)
  3. Calcular o produto vetorial alpha'(t) times alpha''(t):
    alpha'(t) times alpha''(t) = i & j & k 3 cos t & 5 sin t & -4 cos t -3 sin t & 5 cos t & 4 sin t
    = i(5 sin t cdot 4 sin t - (-4 cos t) cdot 5 cos t) - j(3 cos t cdot 4 sin t - (-4 cos t) cdot (-3 sin t)) + k(3 cos t cdot 5 cos t - 5 sin t cdot (-3 sin t))
    = i(20 sin^2 t + 20 cos^2 t) - j(12 cos t sin t - 12 cos t sin t) + k(15 cos^2 t + 15 sin^2 t)
    = (20 (sin^2 t + cos^2 t), 0, 15 (cos^2 t + sin^2 t)) = (20, 0, 15)
  4. Calcular a norma do produto vetorial:
    |alpha'(t) times alpha''(t)| = raiz20^2 + 0^2 + 15^2 = raiz400 + 0 + 225 = raiz625 = 25
  5. Calcular a curvatura:
    |alpha'(t)| = 5
    kappa(t) = 255^3 = 25125 = 15

Passo 5

Parte d: Obter a torção de alpha
A torção tau(t) mede o quanto a curva está “girando” no espaço.
  1. Fórmula da torção:
    tau(t) = (alpha'(t) times alpha''(t)) cdot alpha'''(t)|alpha'(t) times alpha''(t)|^2
  2. Calcular alpha'''(t):
    alpha'''(t) = (-3 cos t, -5 sin t, 4 cos t)
  3. Calcular o produto (alpha'(t) times alpha''(t)) cdot alpha'''(t):
    (alpha'(t) times alpha''(t)) = (20, 0, 15)
    (alpha'(t) times alpha''(t)) cdot alpha'''(t) = 20 cdot (-3 cos t) + 0 cdot (-5 sin t) + 15 cdot 4 cos t = -60 cos t + 60 cos t = 0
  4. Calcular a torção:
    |alpha'(t) times alpha''(t)|^2 = 25^2 = 625
    tau(t) = 0625 = 0

Passo 6

Parte e: Obter as componentes tangencial e normal do vetor aceleração
O vetor aceleração $ \alpha’’(t) $ pode ser decomposto nas componentes tangencial e normal em relação à curva.
  1. Vetor aceleração:
    alpha''(t)
  2. Componente tangencial $ a_T $:
    A componente tangencial é a derivada da velocidade em relação ao tempo, mas como alpha''(t) = (-3 sin t, 5 cos t, 4 sin t) constante, a componente tangencial é zero:
    aT
  3. Componente normal $ a_N $:
    Como $ a_T = 0 $, toda a aceleração é normal:
    |alpha'(t)| = 5

Resposta

a) A reparametrização pelo comprimento de arco é alpha(s) = (3 sin(s5), 1 - 5 cos(s5), -4 sin(s5)).
b) Os vetores de Frenet são:
T(t) = (35 cos t, sin t, -45 cos t)
N(t) = (-35 sin t, cos t, 45 sin t)
B(t) = (45, 0, 35)
c) A curvatura de alpha é kappa(t) = 15.
d) A torção de alpha é tau(t) = 0.
e) As componentes do vetor aceleração são:
aT = 0 e aN = 5

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