Questão 1.
Seja a função
dada por
Esta função é uma bijeção no intervalo
? Caso positivo, encontre a sua função inversa.
Dica: Para demonstrar a injetividade é possivel estudar a variação da função através do estudo do sinal da derivada ou utilizar a relação
Dica: Para demonstrar a injetividade é possivel estudar a variação da função através do estudo do sinal da derivada ou utilizar a relação
Passo 1
O enunciado dá a função
com domínio e contradomínio restritos ao intervalo
. Pergunta-se se
é bijetora em
e, em caso afirmativo, qual é
. Para isso, vamos (1) mostrar injetividade por monotonicidade estudando
, (2) concluir surjetividade usando continuidade e valores nos extremos, e (3) achar a inversa solucionando
.
Passo 2
Calculemos a derivada para ver monotonicidade:
Para todo
temos
, logo
. Em
,
. Portanto
é estritamente crescente em
, logo injetiva.
Passo 3
Como
é contínua em
e estritamente crescente, seus valores extremos são
logo o contradomínio de
é todo
. Assim
é bijetora.
Passo 4
Para achar a inversa, escrevemos
Aplicando a fórmula quadrática,
Como queremos a raiz que se mantém em
e preserva o sinal de
, escolhemos o sinal “
”.
Passo 5
Fica então, para
,
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por
, obtendo a forma
válida para todo
. Em particular
.
Resposta
A função
é bijetora em
e sua inversa é