Questão 1. (2,0) Seja a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x)=\frac{2 x}{x^{2}+1}
Esta função é uma bijeção no intervalo [-1,1] ? Caso positivo, encontre a sua função inversa.
Dica: Para demonstrar a injetividade é possivel estudar a variação da função através do estudo do sinal da derivada ou utilizar a relação
\operatorname{sen}(\alpha)=\frac{2 t g(\alpha / 2)}{1+\operatorname{tg}^{2}(\alpha / 2)}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{2x}{x^2+1}
com domínio e contradomínio restritos ao intervalo [-1,1]. Pergunta-se se f é bijetora em [-1,1] e, em caso afirmativo, qual é f^{-1}. Para isso, vamos (1) mostrar injetividade por monotonicidade estudando f'(x), (2) concluir surjetividade usando continuidade e valores nos extremos, e (3) achar a inversa solucionando y=\tfrac{2x}{x^2+1}.

Passo 2

Calculemos a derivada para ver monotonicidade:
f'(x) =\frac{2\,(x^2+1)-2x\cdot2x}{(x^2+1)^2} =\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2} =\frac{2\,(1-x^2)}{(x^2+1)^2}.
Para todo x\in(-1,1) temos 1-x^2>0, logo f'(x)>0. Em x=\pm1, f'(\pm1)=0. Portanto f é estritamente crescente em [-1,1], logo injetiva.

Passo 3

Como f é contínua em [-1,1] e estritamente crescente, seus valores extremos são
f(-1)=-1,\quad f(1)=1,
logo o contradomínio de f:[-1,1]\to[-1,1] é todo [-1,1]. Assim f é bijetora.

Passo 4

Para achar a inversa, escrevemos
y=\frac{2x}{x^2+1} \quad\Longrightarrow\quad y\,(x^2+1)=2x \quad\Longrightarrow\quad y\,x^2-2x+y=0.
Aplicando a fórmula quadrática,
x=\frac{2\pm\sqrt{4-4y^2}}{2y} =\frac{1\pm\sqrt{1-y^2}}{y}.
Como queremos a raiz que se mantém em [-1,1] e preserva o sinal de y, escolhemos o sinal “ -”.

Passo 5

Fica então, para y\neq0,
f^{-1}(y) =\frac{1-\sqrt{1-y^2}}{y}.
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por 1+\sqrt{1-y^2}, obtendo a forma
f^{-1}(y) =\frac{y}{1+\sqrt{1-y^2}},
válida para todo y\in[-1,1]. Em particular f^{-1}(0)=0.

Resposta

A função f é bijetora em [-1,1] e sua inversa é
f^{-1}(y)=\frac{y}{1+\sqrt{1-y^2}},\quad y\in[-1,1].

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