Questão 0.9. Seja
um intervalo. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que qualquer intervalo aberto
tem a mesma cardinalidade de
, isto é, existe uma bijeção entre
e
. Vamos usar conceitos de cardinalidade, funções afins e a bijeção da tangente restrita a um intervalo.
Passo 2
Para simplificar, primeiro construímos uma bijeção
usando uma transformação afim. Definimos
Como é uma função estritamente crescente (coeficiente positivo) e
,
,
ela é injetora e sobrejetora em , logo bijetora.
ela é injetora e sobrejetora em
Passo 3
Em seguida, usamos a função tangente para levar
em
. Definimos
Como
faz
e
é bijetora de
em
,
também é bijetora.
Passo 4
Por fim, compomos as duas bijeções para obter
Como a composição de bijeções é bijeção,
é uma bijeção, mostrando que
.
Resposta
Uma bijeção explícita é