Questão 0.9. Seja (a, b) um intervalo. Mostre que (a, b) approx R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que qualquer intervalo aberto (a,b) tem a mesma cardinalidade de R, isto é, existe uma bijeção entre (a,b) e R. Vamos usar conceitos de cardinalidade, funções afins e a bijeção da tangente restrita a um intervalo.

Passo 2

Para simplificar, primeiro construímos uma bijeção ucolon(a,b)to(-1,1) usando uma transformação afim. Definimos
u(x)=2x - a - bb - a
Como é uma função estritamente crescente (coeficiente positivo) e
u(a)=tfrac2a - a - bb - a=-1,
u(b)=1,
ela é injetora e sobrejetora em (-1,1), logo bijetora.

Passo 3

Em seguida, usamos a função tangente para levar (-1,1) em R. Definimos
v(t)=tanl(tfracpi2tr)
Como tin(-1,1) faz
tfracpi2tin(-tfracpi2,tfracpi2) e tan é bijetora de (-tfracpi2,tfracpi2) em R,
v também é bijetora.

Passo 4

Por fim, compomos as duas bijeções para obter
f(x)=vl(u(x)r)
Como a composição de bijeções é bijeção,
fcolon(a,b)toR é uma bijeção, mostrando que (a,b)approxR.

Resposta

Uma bijeção explícita é
f(x)=tan! l(pi2,2x - a - bb - ar) =tan! l(pib - a,l(x - tfraca+b2r)r)

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