Questão 4

Seja
B=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]
O polinômio característico de B (em forma desenvolvida) é:
a) \lambda^{2}-2 \lambda+2
b) \lambda^{2}-4 \lambda+4
c) \lambda^{2}-2 \lambda+1
d) \lambda^{2}-1
e) \lambda^{2}-4 \lambda+3

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix}
e pede o polinômio característico em forma desenvolvida. O conteúdo é álgebra linear, mais especificamente o cálculo de \chi_B(\lambda).]

Passo 2

Lembrando que o polinômio característico de B é definido por
\chi_B(\lambda) = \det\bigl(B - \lambda I\bigr),
onde I é a matriz identidade 2\times2.

Passo 3

Primeiro formamos B - \lambda I:
B - \lambda I = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\lambda & 0 \\[3pt] 0 & \lambda\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1-\lambda & 2 \\[3pt] 0 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
Em seguida calculamos o determinante dessa matriz.]

Passo 4

Como é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
\chi_B(\lambda) = (1-\lambda)\,(1-\lambda) = (1-\lambda)^2.
Agora basta expandir:
(1-\lambda)^2 = 1 - 2\lambda + \lambda^2 = \lambda^2 - 2\lambda + 1.

Passo 5

Comparando com as alternativas, o polinômio característico em forma desenvolvida é \lambda^2 - 2\lambda + 1, que corresponde à alternativa (c).

Resposta

c)

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