Questão 2

Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por
T(x, y, z)=(x+y, y+z, x+z) .
A matriz associada a T é:
a) \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]
b) \left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]
c) \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]
d) \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]
e) \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z) = (\,x+y,\;y+z,\;x+z\,)
e pede a matriz associada a T na base canônica de \mathbb{R}^3. Vamos usar o fato de que essa matriz tem como colunas as imagens de \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3.

Passo 2

Lembrando que, na base canônica \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\}, a matriz de T é
M = \bigl[\;T(\mathbf{e}_1)\;\bigm|\;T(\mathbf{e}_2)\;\bigm|\;T(\mathbf{e}_3)\bigr].

Passo 3

Calcular as imagens dos vetores da base:
T(\mathbf{e}_1)=T(1,0,0) = (1+0,\;0+0,\;1+0) = (1,0,1),
T(\mathbf{e}_2)=T(0,1,0) = (0+1,\;1+0,\;0+0) = (1,1,0),
T(\mathbf{e}_3)=T(0,0,1) = (0+0,\;0+1,\;0+1) = (0,1,1).

Passo 4

Colocando essas imagens como colunas, obtemos
M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Comparando com as alternativas, vemos que M coincide com a letra d).

Resposta

d)

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