Questão 7

Seja
D=\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right]
Essa matriz representa uma rotação no plano. Seus autovalores são:
a) \lambda=1 e \lambda=-1
b) \lambda=0 e \lambda=2
c) \lambda=1+i e \lambda=1-i
d) \lambda=i e \lambda=-i
e) Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de rotação no plano
D = \begin{pmatrix} 0 & -1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}
e pede os autovalores. Esse é um problema de cálculo de autovalores usando o polinômio característico \det(D - \lambda I).

Passo 2

Vamos montar o polinômio característico:
\det(D - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 0-\lambda & -1\\\\ 1 & 0-\lambda \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} -\lambda & -1\\\\ 1 & -\lambda \end{pmatrix} = (-\lambda)(-\lambda) - (-1)\cdot 1 = \lambda^2 + 1.

Passo 3

Para encontrar os autovalores, resolvemos
\lambda^2 + 1 = 0
cuja solução é
\lambda = \pm i.

Passo 4

Na lista de alternativas, a que corresponde a esses valores é
(d) \lambda = i e \lambda = -i.

Resposta

(d) \lambda = i e \lambda = -i

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