Seja a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por
T(x, y)=(2 x+y, x-3 y) .
A matriz associada a T em relação à base canônica é:
а) \left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\\\ 1 & -3\end{array}\right]
b) \left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\\\ 1 & -3\end{array}\right]
c) \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ -3 & 1\end{array}\right]
d) \left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 1 & 3\end{array}\right]
е) \left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\\\ -3 & 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 definida por
T(x,y) = (2x + y,\;x - 3y).
Pede a matriz de T na base canônica. Para isso, basta calcular T(e_1) e T(e_2), onde e_1=(1,0) e e_2=(0,1), e usar esses vetores como colunas da matriz.
Passo 2
Calculamos T(e_1). Substituindo (x,y)=(1,0) em T(x,y), temos
T(1,0) = (2\cdot1 + 0,\;1 - 3\cdot0) = (2,\;1).
Passo 3
Calculamos T(e_2). Substituindo (x,y)=(0,1) em T(x,y), obtemos
T(0,1) = (2\cdot0 + 1,\;0 - 3\cdot1) = (1,\;-3).
Passo 4
Formamos a matriz de T na base canônica tomando \bigl[T(e_1)\;\;T(e_2)\bigr] como colunas: