Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial ( c1 e c2 são constantes).
& x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=0 ; & y=x^2+x^2 ln x, x>0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y = x^2 + x^2ln x, com x>0, satisfaz a equação diferencial de Euler–Cauchy
x^2y'' -3x y' +4y = 0
A estratégia é fazer substituição direta: calcular y' e y'' e inserir na equação para ver se o resultado é zero.

Passo 2

Calcular a primeira derivada. Como
y = x^2 + x^2ln x = x^2(1 + ln x),
temos
y' = ddxl(x^2r),(1+ln x) + x^2,ddx(ln x) = 2x(1+ln x) + x^2,1x = 2x + 2xln x + x = 3x + 2xln x

Passo 3

Calcular a segunda derivada. Derivando
y' = 3x + 2xln x,
obtemos
y'' = 3 + ddxl(2xln xr) = 3 + 2(ln x + 1) = 5 + 2ln x

Passo 4

Substituir y, y' e y'' na equação
x^2y'' -3x y' +4y = x^2(5+2ln x);-;3x(3x+2xln x);+;4l(x^2+x^2ln xr)

Passo 5

Distribuindo e agrupando termos em x^2 e em x^2ln x:
x^2y'' -3x y' +4y = l(5x^2+2x^2ln xr) -l(9x^2+6x^2ln xr) +l(4x^2+4x^2ln xr)
Agora somamos coeficientes:
  • Coeficiente de x^2: 5 - 9 + 4 = 0.
  • Coeficiente de x^2ln x: 2 - 6 + 4 = 0.
    Logo
x^2y'' -3x y' +4y = 0

Resposta

A função y = x^2 + x^2ln x satisfaz a equação diferencial dada.

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