Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x da região delimitada pelas curvas dadas.
y=e^-x, y=0, x=0, x=2

Passo 1

A gente tem a região limitada pelas curvas y=e^-x, y=0, x=0 e x=2, que vai girar em torno do eixo x. O conteúdo aqui é cálculo de volume por método dos discos, usando a fórmula V=integrala^b pi[f(x)]^2,dx.

Passo 2

Nesse método, em cada x o sólido cria um disco de raio igual a y=e^-x. Logo, a área da seção transversal perpendicular ao eixo x é
A(x)=pil(e^-xr)^2=pi e^-2x

Passo 3

Montamos a integral do volume, de x=0 até x=2:
V=integral0^2A(x),dx=integral0^2pi e^-2x,dx=piintegral0^2e^-2x,dx

Passo 4

Para calcular integral e^-2x,dx, usamos que integral e^kx,dx=tfrac1k e^kx. Aqui k=-2, então
integral e^-2x,dx=-tfrac12e^-2x+C
Aplicando os limites 0 a 2:
integral0^2e^-2x,dx=l[-tfrac12e^-2xr]0^2=-tfrac12e^-4-l(-tfrac12e^0r)=tfrac12l(1-e^-4r)

Passo 5

Multiplicando pelo pi, o volume fica
V=picdottfrac12l(1-e^-4r)=tfracpi2l(1-e^-4r)

Resposta

tfracpi2(1-e^-4)

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