Questão 1: Seja o campo vetorial em R^2
F(x, y)=(x+y) i+(x-y) j
(i) (15 pts) É o campo F conservativo em R^2 ? Se o for, encontre uma função potencial Phi para ele ;
(ii) (15 pts) Calcule a integral de linha do campo F ao longo da meia circunferência superior que sai do ponto P0=(1,0) e chega no ponto P1=(0,2) e com centro na metade do segmento de reta que une estes dois;

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o campo vetorial
vec F(x,y)=(x+y),vec i+(x-y),vec j em R^2.
Parte (i) pede para verificar se vec F é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial Phi.
Parte (ii) pede a integral de linha de vec F ao longo de uma meia circunferência unindo P0=(1,0) a P1=(0,2) (com centro em (0,5,1)), mas como vec F será conservativo, vamos usar independência de caminho.

Passo 2

Para checar conservatividade em R^2 calculamos
P(x,y)=x+y, Q(x,y)=x-y,
partial Ppartial y = 1, partial Qpartial x = 1
Como partial P/partial y = partial Q/partial x em todo R^2 e as derivadas parciais são contínuas, vec F é conservativo.

Passo 3

Para achar a função potencial Phi, integramos P em x:
Phi(x,y)=integral (x+y),dx = x^22+x,y + h(y)
Depois impomos partialPhi/partial y = Q:
partialPhipartial y = x + h'(y)equiv x - y ;Longrightarrow; h'(y)=-y ;Longrightarrow; h(y)=-y^22
Logo, podemos escolher
Phi(x,y)=x^22+x,y-y^22

Passo 4

Como vec F é conservativo e a curva liga P0 a P1, a integral de linha independe do caminho e vale
integralP0^P1vec Fcdot dvec r =Phi(P1)-Phi(P0)

Passo 5

Calculando em P1=(0,2) e em P0=(1,0):
Phi(0,2) =0^22+0cdot2-2^22=-2, Phi(1,0) =1^22+1cdot0-0^22=12
Portanto
integralP0^P1vec Fcdot dvec r =-2-12 =-52

Resposta

(i) Sim, vec F é conservativo e uma função potencial é
Phi(x,y)=x^22+x,y-y^22
(ii)
integralP0^P1vec Fcdot dvec r=-52

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