Questão 1: Seja o campo vetorial em
(i) (15 pts) É o campo
conservativo em
? Se o for, encontre uma função potencial
para ele ;
(ii) (15 pts) Calcule a integral de linha do campo
ao longo da meia circunferência superior que sai do ponto
e chega no ponto
e com centro na metade do segmento de reta que une estes dois;
(ii) (15 pts) Calcule a integral de linha do campo
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos o campo vetorial
em
.
Parte (i) pede para verificar se é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
.
Parte (ii) pede a integral de linha de ao longo de uma meia circunferência unindo
a
(com centro em
), mas como
será conservativo, vamos usar independência de caminho.
Parte (i) pede para verificar se
Parte (ii) pede a integral de linha de
Passo 2
Para checar conservatividade em
calculamos
Como
em todo
e as derivadas parciais são contínuas,
é conservativo.
Passo 3
Para achar a função potencial
, integramos
em
:
Depois impomos
:
Logo, podemos escolher
Passo 4
Como
é conservativo e a curva liga
a
, a integral de linha independe do caminho e vale
Passo 5
Calculando em
e em
:
Portanto
Resposta
(i) Sim,
é conservativo e uma função potencial é
(ii)