Use a derivação implícita para encontrar partial y / partial x e partial z / partial y.
x^2-y^2+z^2-2 z=4

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x^2 - y^2 + z^2 - 2z = 4
que define uma superfície em (x,y,z). Queremos encontrar duas derivadas implicitas parciais:
  1. partial ypartial x tratando z como constante.
  2. partial zpartial y tratando x como constante.

Passo 2

Para obter partial ypartial x mantemos z fixo e diferenciamos a equação em relação a x. Derivando termo a termo:
ddxl(x^2r);-;ddxl(y^2r);+;ddxl(z^2r);-;ddxl(2zr) ;=;ddx(4)
Como z é constante, ddx(z^2)=0 e ddx(2z)=0. Logo,
2x ;-;2y,partial ypartial x ;=;0

Passo 3

Isolando partial ypartial x:
2x ;=;2y,partial ypartial x Longrightarrow partial ypartial x ;=;xy

Passo 4

Para obter partial zpartial y mantemos x fixo e diferenciamos a equação em relação a y. Derivando:
ddyl(x^2r);-;ddyl(y^2r);+;ddyl(z^2r);-;ddyl(2zr) ;=;ddy(4)
Como x é constante, ddy(x^2)=0. Aplicando a regra da cadeia em z(y):
-2y ;+;2z,partial zpartial y ;-;2,partial zpartial y ;=;0 Longrightarrow -2y ;+;(2z-2)partial zpartial y=0

Passo 5

Isolando partial zpartial y:
(2z-2)partial zpartial y ;=;2y Longrightarrow partial zpartial y ;=;2y2(z-1) ;=;y,z-1,

Resposta

partial ypartial x = xy, partial zpartial y = y,z-1,

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