Exercício 4. Em quais intervalos a função f(x)=e^xx^2+1 é crescente, e em quais é decrescente?

Passo 1

Estamos com a função
f(x)=e^xx^2+1
e o conteúdo é monotonicidade: para saber onde f cresce ou decresce, precisamos calcular f'(x) e analisar o sinal de f'(x).

Passo 2

Usamos a regra do quociente: se f(x)=u(x)v(x), então
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Aqui u(x)=e^x e v(x)=x^2+1. Calculando as derivadas:
u'(x)=e^x, v'(x)=2x
Logo,
f'(x) =e^x(x^2+1)-e^xcdot2x(x^2+1)^2

Passo 3

Fatorando e^x no numerador e agrupando termos:
f'(x) =e^xl(x^2+1-2xr)(x^2+1)^2 =e^x(x^2-2x+1)(x^2+1)^2 =e^x(x-1)^2(x^2+1)^2

Passo 4

Para o sinal de f'(x):
  • e^x>0 para todo x.
  • (x^2+1)^2>0 para todo x.
  • (x-1)^2>=0, com igualdade só em x=1.
    Portanto f'(x)>=0 para todo x, e f'(x)=0 apenas em x=1.

Passo 5

Como f'(x) nunca fica negativa, f não tem intervalo de decrescimento e é monotonicamente crescente em toda reta real. Mesmo em x=1, onde f'(1)=0, não ocorre inversão de sinal, então a função continua aumentando à esquerda e à direita desse ponto.

Resposta

A função é crescente em (-infty,infty) e não há intervalos de decrescimento.

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