Exercício 4. Em quais intervalos a função
é crescente, e em quais é decrescente?
Passo 1
Estamos com a função
e o conteúdo é monotonicidade: para saber onde
cresce ou decresce, precisamos calcular
e analisar o sinal de
.
Passo 2
Usamos a regra do quociente: se
, então
Aqui
e
. Calculando as derivadas:
Logo,
Passo 3
Fatorando
no numerador e agrupando termos:
Passo 4
Para o sinal de
:
-
para todo . -
para todo . -
, com igualdade só em .
Portantopara todo , e apenas em .
Passo 5
Como
nunca fica negativa,
não tem intervalo de decrescimento e é monotonicamente crescente em toda reta real. Mesmo em
, onde
, não ocorre inversão de sinal, então a função continua aumentando à esquerda e à direita desse ponto.
Resposta
A função é crescente em
e não há intervalos de decrescimento.