Use séries de potências para determinar as soluções
dos problemas abaixo(retome o Exercício 20 da Lista 1):
, onde
e
.
Passo 1
A equação é
com
e
. O conteúdo é solução de EDO por séries de potências: vamos expandir
e
em série de potências, igualar coeficientes e impor as condições iniciais.
Passo 2
Assumimos a série de potências
e usamos a expansão
onde
Passo 3
Calculamos
e substituímos na EDO, obtendo
Daí vem a recorrência
para todo
.
Passo 4
Impondo
dá
e
dá
. Calculamos alguns
:
Para :
⇒
.
Para :
⇒
.
Para :
⇒
.
Para :
⇒
.
Assim os primeiros termos são
Para
Para
Para
Para
Assim os primeiros termos são
Passo 5
Reconhecendo que as séries obtidas são exatamente as de
,
e
, agrupamos em forma fechada para obter a solução geral que satisfaz as condições iniciais:
Passo 6
Usando as somas conhecidas, chega-se a
Resposta
y(x)=-\cos(\sqrt5x)+\tfrac1{\sqrt5}\sin(\sqrt5x)+\cos2x