Use séries de potências para determinar as soluções y(x) dos problemas abaixo(retome o Exercício 20 da Lista 1):
y^prime prime+5 y=cos 2 x, onde y(0)=0 e y^prime(0)=1.

Passo 1

A equação é y''+5y=cos2x com y(0)=0 e y'(0)=1. O conteúdo é solução de EDO por séries de potências: vamos expandir y(x) e cos2x em série de potências, igualar coeficientes e impor as condições iniciais.

Passo 2

Assumimos a série de potências
y(x)=sumn=0^infty anx^n,
e usamos a expansão
cos2x=sumk=0^infty(-1)^k(2x)^2k(2k)!=sumn=0^infty bnx^n,
onde
b2k=(-1)^k2^2k(2k)!, b2k+1=0

Passo 3

Calculamos
y''(x)=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n
e substituímos na EDO, obtendo
sumn=0^inftyl((n+2)(n+1)an+2+5an-bnr)x^n=0
Daí vem a recorrência
(n+2)(n+1)an+2=bn-5an
para todo n>=0.

Passo 4

Impondo y(0)=0 a0=0 e y'(0)=1 a1=1. Calculamos alguns an:
Para n=0: 2cdot1,a2=b0-5a0=1 a2=1/2.
Para n=1: 3cdot2,a3=b1-5a1=-5 a3=-5/6.
Para n=2: 4cdot3,a4=b2-5a2=(-4/2)-5/2=-9/2 a4=-3/8.
Para n=3: 5cdot4,a5=b3-5a3=25/6 a5=5/24.
Assim os primeiros termos são
y(x)=x+tfrac12x^2-tfrac56x^3-tfrac38x^4+tfrac524x^5+cdots

Passo 5

Reconhecendo que as séries obtidas são exatamente as de
-cos(raiz5x), tfrac1raiz5sin(raiz5x) e cos2x, agrupamos em forma fechada para obter a solução geral que satisfaz as condições iniciais:

Passo 6

Usando as somas conhecidas, chega-se a
y(x)=-cos(raiz5x)+1raiz5sin(raiz5x)+cos2x

Resposta

y(x)=-\cos(\sqrt5x)+\tfrac1{\sqrt5}\sin(\sqrt5x)+\cos2x

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