Questão 6:

Seja o cilindro hiperbólico de equação \frac{y^{2}}{16}-\frac{z^{2}}{4}=1. Fazendo a interseção com o plano y=3, obtemos:
Escolha uma apçã:
a. Retas Paralelas: X=(0, \pm 8, \sqrt{12})+\lambda(1,0,0)
b. Retas Concorrentes: X=(0, \pm 8, \sqrt{12})+\lambda(1,0,0)
c. Retas Paralelas: X=(0,8, \pm \sqrt{12})+\lambda(1,0,0)
d. Retas Concorrentes: X=(0,8, \pm \sqrt{12})+\lambda(1,0,0)
e. Reta: X=(0,4,0)+\lambda(1,0,0)
f. Conjunto Vazio

Passo 1

O enunciado dá o cilindro hiperbólico de equação
\frac{y^{2}}{16} - \frac{z^{2}}{4} = 1
e pede a interseção com o plano y=3. Para resolver, vamos substituir y=3 na equação do cilindro e verificar se existem pontos reais (x,y,z) que satisfaçam ambas as equações.

Passo 2

Substituindo y=3 em
\frac{y^{2}}{16} - \frac{z^{2}}{4} = 1
temos
\frac{3^{2}}{16} - \frac{z^{2}}{4} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{9}{16} - \frac{z^{2}}{4} = 1.

Passo 3

Reescrevendo para isolar z^{2}:
- \frac{z^{2}}{4} = 1 - \frac{9}{16} \quad\Longrightarrow\quad - \frac{z^{2}}{4} = \frac{16}{16} - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}.
Multiplicando ambos os lados por -4:
z^{2} = -4 \cdot \frac{7}{16} = -\frac{7}{4}.
Como o quadrado de z não pode ser negativo no conjunto dos reais, não há soluções reais para z.

Passo 4

Geometricamente, o cilindro hiperbólico só tem interseção real com planos y=\text{constante} quando \bigl|\text{constante}\bigr|\ge4. Aqui \bigl|3\bigr|<4, de modo que o plano não corta o cilindro.

Resposta

f. Conjunto Vazio

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