Questão 4:

Determine a interseção das quádricas S_{1}: z=-\frac{x^{2}}{4} e S_{2}: x=-\frac{z^{2}}{4}.
Escolha uma apcha:
a. 1 Reta de equação: r: X=(0,0,0)+\lambda(0,1,0)
b. 2 Retas Paralelas de equações: \boldsymbol{r}: X=(\mathbf{0}, \mathbf{0}, \mathbf{0})+\lambda(\mathbf{0}, \mathbf{1}, \mathbf{0}) e s: X=(\mathbf{4}, \mathbf{0},-\mathbf{4})+\lambda(\mathbf{0}, \mathbf{1}, \mathbf{0})
c. 2 Retas Paralelas de equações: r : X=(0,0,0)+\lambda(0,1,0) e s : X=(-4,0,4)+\lambda(0,1,0)
d. 2 Retas Paralelas de equações: r: X=(0,0,0)+\lambda(0,1,0) e s: X=(4,0,4)+\lambda(0,1,0)
e. 2 Retas Paralelas de equações: \boldsymbol{r}: \boldsymbol{X}=(\mathbf{0}, \mathbf{0}, \mathbf{0})+\lambda(\mathbf{0}, \mathbf{1}, \mathbf{0}) e s : \boldsymbol{X}=(-\mathbf{4}, \mathbf{0},-\mathbf{4})+\lambda(\mathbf{0}, \mathbf{1}, \mathbf{0})

Passo 1

O enunciado pede a interseção das quádricas \displaystyle S_{1}:z=-\frac{x^{2}}{4} e \displaystyle S_{2}:x=-\frac{z^{2}}{4}.
Para achar a curva de interseção, vamos resolver o sistema
\begin{cases} z=-\dfrac{x^{2}}{4},\\[6pt] x=-\dfrac{z^{2}}{4}, \end{cases}
eliminando uma das variáveis por substituição e depois parametrizando a solução.]

Passo 2

Da equação de S_{2} temos
x=-\frac{z^{2}}{4}.
Substituindo em S_{1} obtém-se uma equação só em z:
z =-\frac{1}{4}\Bigl(-\frac{z^{2}}{4}\Bigr)^{2} =-\frac{1}{4}\,\frac{z^{4}}{16} =-\frac{z^{4}}{64}.

Passo 3

Reescrevendo
z = -\frac{z^{4}}{64} \quad\Longrightarrow\quad z + \frac{z^{4}}{64} = 0 \quad\Longrightarrow\quad z\Bigl(1 + \frac{z^{3}}{64}\Bigr)=0.

Passo 4

As soluções reais dessa equação são
z=0 \quad\text{ou}\quad 1+\frac{z^{3}}{64}=0\;\Longrightarrow\;z^{3}=-64\;\Longrightarrow\;z=-4.
Logo a interseção tem duas componentes, correspondentes a z=0 e a z=-4.

Passo 5

Para cada valor de z encontramos x pela fórmula x=-\tfrac{z^{2}}{4}:
  • Se z=0, então x=0.
  • Se z=-4, então x=-\tfrac{(-4)^{2}}{4}=-4.

Passo 6

Observamos que a coordenada y não aparece em nenhuma das equações, logo pode variar livremente. Cada componente é, portanto, uma reta paralela ao eixo y:
r: X=(0,0,0)+\lambda(0,1,0),
s: X=(-4,0,-4)+\lambda(0,1,0).

Passo 7

Comparando com as alternativas dadas, a que corresponde exatamente a estas duas retas é a opção (e).

Resposta

e

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