(2.0 Pontos.) Sejam \alpha=\left\{u_{1}, u_{2}\right\} e \beta=\left\{v_{1}, v_{2}\right\} bases ordenadas de V=\mathbb{R}^{2}, tais que
u_{1}=v_{1}+2 v_{2} \quad \text { e } \quad u_{2}=-2 v_{1}+v_{2}
(a) Se [I]_{\gamma}^{\beta}=\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\\\ 2 & -1\end{array}\right], onde \gamma é a base canônica de \mathbb{R}^{2}, determine os vetores v_{1} e v_{2}
(b) Encontre \left[v_{1}\right]_{\alpha} e \left[v_{2}\right]_{\alpha}.

Passo 1

O enunciado dá duas bases ordenadas de V=\mathbb{R}^2: \alpha=\{u_1,u_2\} e \beta=\{v_1,v_2\}, com as relações
u_1 = v_1 + 2v_2, \quad u_2 = -2v_1 + v_2.
Além disso, \gamma é a base canônica e está dado
[I]_{\gamma}^{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\\\ 2 & -1 \end{pmatrix},
que, por definição de mudança de base, tem como colunas as coordenadas de v_1 e v_2 na base canônica. Precisamos, em (a), determinar v_1 e v_2 no sistema \gamma e, em (b), achar suas coordenadas em \alpha.

Passo 2

Como [I]_{\gamma}^{\beta} = \bigl[\, [v_j]_{\gamma}\bigr]_{j=1,2}, temos
[v_1]_{\gamma} = \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}, \quad [v_2]_{\gamma} = \begin{pmatrix}3\\\ -1\end{pmatrix}.
Logo,
v_1 = (1,2), \quad v_2 = (3,-1)
no sistema canônico \gamma.

Passo 3

Para \bigl[v_1\bigr]_{\alpha}\), buscamos escalares \(a,b\) tais que \[v_1 = a\,u_1 + b\,u_2.
Usando u_1 = v_1+2v_2 e u_2 = -2v_1+v_2, segue
a(v_1+2v_2) + b(-2v_1+v_2) = (a - 2b)\,v_1 + (2a + b)\,v_2 \;\overset!=\;1\cdot v_1 + 0\cdot v_2.
Isso gera o sistema
\begin{cases} a - 2b = 1,\\\\ 2a + b = 0, \end{cases}
cuja solução é a = \tfrac15\], \(b = -\tfrac25. Portanto,
[v_1]_{\alpha} = \begin{pmatrix}1/5\\\ -2/5\end{pmatrix}.

Passo 4

Para \bigl[v_2\bigr]_{\alpha}\), achamos \(c,d\) tais que \[v_2 = c\,u_1 + d\,u_2 = (c - 2d)\,v_1 + (2c + d)\,v_2 \;\overset!=\;0\cdot v_1 + 1\cdot v_2,
levando ao sistema
\begin{cases} c - 2d = 0,\\\\ 2c + d = 1, \end{cases}
cuja solução é c = \tfrac25\], \(d = \tfrac15. Logo,
[v_2]_{\alpha} = \begin{pmatrix}2/5\\\ 1/5\end{pmatrix}.

Resposta

(a) v_1=(1,2) e v_2=(3,-1).
(b)
[v_1]_{\alpha} = \begin{pmatrix}1/5\\\ -2/5\end{pmatrix}, \quad [v_2]_{\alpha} = \begin{pmatrix}2/5\\\ 1/5\end{pmatrix}.

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