(2.0 Pontos.) Sejam \alpha=\left\{u_{1}, u_{2}\right\} e \beta=\left\{v_{1}, v_{2}\right\} bases ordenadas de V=\mathbb{R}^{2}, tais que
u_{1}=v_{1}+2 v_{2} \quad \text { e } \quad u_{2}=-2 v_{1}+v_{2}
(a) Se [I]_{\gamma}^{\beta}=\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\\\ 2 & -1\end{array}\right], onde \gamma é a base canônica de \mathbb{R}^{2}, determine os vetores v_{1} e v_{2}
(b) Encontre \left[v_{1}\right]_{\alpha} e \left[v_{2}\right]_{\alpha}.
Passo 1
O enunciado dá duas bases ordenadas de V=\mathbb{R}^2: \alpha=\{u_1,u_2\} e \beta=\{v_1,v_2\}, com as relações
que, por definição de mudança de base, tem como colunas as coordenadas de v_1 e v_2 na base canônica. Precisamos, em (a), determinar v_1 e v_2 no sistema \gamma e, em (b), achar suas coordenadas em \alpha.
Passo 2
Como [I]_{\gamma}^{\beta} = \bigl[\, [v_j]_{\gamma}\bigr]_{j=1,2}, temos