Questão 9:

Seja o cone elíptico de equação x^{2}=\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{4}. Fazendo a interseção com o plano x=2, obtemos:
Escolha uma apcila:
a. Retas Concorrentes: X=(0,0,0)+\lambda(1,0, \pm 2)
b. Ponto (\mathbf{0}, \mathbf{0}, \mathbf{0})
c. Hipérbole de equação \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{64}=1
d. Hipérbole de equação \frac{x^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{16}=1
e. Elipse de equação \frac{y^{2}}{64}+\frac{z^{2}}{16}=1

Passo 1

O enunciado dá o cone elíptico de equação
x^{2} = \frac{y^{2}}{16} + \frac{z^{2}}{4}
e pede a curva de interseção quando cortamos esse cone pelo plano x=2. Vamos usar álgebra elementar de seções cônicas para encontrar essa curva.

Passo 2

Substituímos x=2 na equação do cone:
(2)^{2} = \frac{y^{2}}{16} + \frac{z^{2}}{4}
ou seja,
4 = \frac{y^{2}}{16} + \frac{z^{2}}{4}.

Passo 3

Para simplificar, multiplicamos ambos os lados por 16:
16 \cdot 4 = y^{2} + 4\,z^{2}
que resulta em
64 = y^{2} + 4\,z^{2}.

Passo 4

Reescrevendo na forma padrão de uma elipse:
\frac{y^{2}}{64} + \frac{4\,z^{2}}{64} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^{2}}{64} + \frac{z^{2}}{16} = 1.
Isso mostra que a interseção é uma elipse no plano x=2.

Resposta

e. Elipse de equação \displaystyle \frac{y^{2}}{64} + \frac{z^{2}}{16} = 1.

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