Questão 1: Seja de classe e seja um ponto interior do domínio de . Suponhamos que ( ) seja ponto crítico de .
a) Em relação a matriz Hessiana de no ponto crítico, estabeleça condições suficientes para garantir que o ponto é um mínimo local, um máximo local ou um ponto de sela.
b) Estude com relação a máximos e mínimos locais a função:
I)
II)
Passo 1
O enunciado pede que a gente classifique um ponto crítico de uma função de classe usando a matriz Hessiana no ponto. O conteúdo é cálculo multivariável: teoria de classificacão de pontos críticos via definitude da Hessiana (critério de Sylvester).
Passo 2
Em teoria, seja a Hessiana de em um ponto crítico .
Se for positiva definida ponto de mínimo local.
Se for negativa definida ponto de máximo local.
Se for indefinida ponto de sela.
Para checar definitude podemos usar os menores principais determinantes de Sylvester.
Passo 3
Função I:
Calculamos .
Zerando cada componente:
Dessa forma , . Logo o único ponto crítico é .
A Hessiana é
Seus menores principais são
D1=2>0, D2=det2&44&10=20-16=4>0, D3=4cdot D2=16>0
Como todos os Di>0, H é positiva definida e (1,0,2) é mínimo local.
Passo 4
Função II:
f(x,y,z)=x^3+2xy+y^2+z^2-5x-4z
Calculamos nabla f=(3x^2+2y-5,;2x+2y,;2z-4).
Da terceira equação 2z-4=0implies z=2.
Da segunda 2(x+y)=0implies y=-x.
Substituindo em 3x^2+2(-x)-5=0 dá
3x^2-2x-5=0implies x=2pm86=53 ou -1
Logo os críticos são l(tfrac53,-tfrac53,2r) e (-1,1,2).
A Hessiana vale
H= 6x & 2 & 0 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2
Em l(tfrac53,-tfrac53,2r) temos 6x=10, então
D1=10>0, D2=10cdot2-4=16>0, D3=16cdot2=32>0,
portanto H positiva Rightarrow mínimo local.
Em (-1,1,2) temos 6x=-6, então
D1=-6<0, D2=(-6)cdot2-4=-16<0,
o que mostra H indefinida Rightarrow ponto de sela.
Resposta
(a) Se a Hessiana em (x0,y0,z0) for positiva definida, temos mínimo local; se for negativa definida, máximo local; se indefinida, ponto de sela.
(b) I) único ponto crítico em (1,0,2), que é mínimo local.
II) críticos em l(tfrac53,-tfrac53,2r) (mínimo local) e em l(-1,1,2r) (ponto de sela).