Questão 1: Seja f(x, y, z) de classe C^2 e seja (x0, y0, z0) um ponto interior do domínio de f. Suponhamos que ( x0, y0, z0 ) seja ponto crítico de f.
a) Em relação a matriz Hessiana de f no ponto crítico, estabeleça condições suficientes para garantir que o ponto é um mínimo local, um máximo local ou um ponto de sela.
b) Estude com relação a máximos e mínimos locais a função:
I) f(x, y, z)=x^2+5 y^2+2 z^2+4 x y-2 x-4 y-8 z+2
II) f(x, y, z)=x^3+2 x y+y^2+z^2-5 x-4 z

Passo 1

O enunciado pede que a gente classifique um ponto crítico de uma função fcolonR^3toR de classe C^2 usando a matriz Hessiana no ponto. O conteúdo é cálculo multivariável: teoria de classificacão de pontos críticos via definitude da Hessiana (critério de Sylvester).

Passo 2

Em teoria, seja H a Hessiana de f em um ponto crítico (x0,y0,z0).
  • Se H for positiva definida Rightarrow ponto de mínimo local.
  • Se H for negativa definida Rightarrow ponto de máximo local.
  • Se H for indefinida Rightarrow ponto de sela.
    Para checar definitude podemos usar os menores principais determinantes de Sylvester.

Passo 3

Função I:
f(x,y,z)=x^2+5y^2+2z^2+4xy-2x-4y-8z+2
Calculamos
nabla f=(2x+4y-2,;10y+4x-4,;4z-8).
Zerando cada componente:
4z-8=0implies z=2,
2x+4y-2=0implies x+2y=1,
4x+10y-4=0implies 2x+5y=2
Dessa forma y=0, x=1. Logo o único ponto crítico é (1,0,2).
A Hessiana é
H= 2 & 4 & 0 4 &10 & 0 0 & 0 & 4
Seus menores principais são
D1=2>0, D2=det2&44&10=20-16=4>0, D3=4cdot D2=16>0
Como todos os Di>0, H é positiva definida e (1,0,2) é mínimo local.

Passo 4

Função II:
f(x,y,z)=x^3+2xy+y^2+z^2-5x-4z
Calculamos
nabla f=(3x^2+2y-5,;2x+2y,;2z-4).
Da terceira equação 2z-4=0implies z=2.
Da segunda 2(x+y)=0implies y=-x.
Substituindo em 3x^2+2(-x)-5=0
3x^2-2x-5=0implies x=2pm86=53 ou -1
Logo os críticos são l(tfrac53,-tfrac53,2r) e (-1,1,2).
A Hessiana vale
H= 6x & 2 & 0 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2
Em l(tfrac53,-tfrac53,2r) temos 6x=10, então
D1=10>0, D2=10cdot2-4=16>0, D3=16cdot2=32>0,
portanto H positiva Rightarrow mínimo local.
Em (-1,1,2) temos 6x=-6, então
D1=-6<0, D2=(-6)cdot2-4=-16<0,
o que mostra H indefinida Rightarrow ponto de sela.

Resposta

(a) Se a Hessiana em (x0,y0,z0) for positiva definida, temos mínimo local; se for negativa definida, máximo local; se indefinida, ponto de sela.
(b) I) único ponto crítico em (1,0,2), que é mínimo local.
II) críticos em l(tfrac53,-tfrac53,2r) (mínimo local) e em l(-1,1,2r) (ponto de sela).

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