Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC z^2 d x+x^2 d y+y^2 d z, C consiste nos segmentos de reta de (1,0,0) a (4,1,2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC z^2,dx + x^2,dy + y^2,dz
onde C é o segmento de reta de (1,0,0) até (4,1,2). O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial em R^3 e vamos precisar fazer uma parametrização de C, expressar dx,dy,dz em termos de um parâmetro t, e então integrar.

Passo 2

Parametrizamos C por
r(t) = (x(t),y(t),z(t)) = (,1+3t,;t,;2t,), 0<= t<=1
Então
dx = x'(t),dt = 3,dt, dy = y'(t),dt = 1,dt, dz = z'(t),dt = 2,dt

Passo 3

Substituímos na integral:
z^2,dx + x^2,dy + y^2,dz = (2t)^2cdot3,dt + (1+3t)^2cdot1,dt + t^2cdot2,dt
Simplificando:
(2t)^2cdot3 + (1+3t)^2 + 2t^2 = 12t^2 + (1+6t+9t^2) + 2t^2 = 1 + 6t + 23t^2

Passo 4

Agora integramos de t=0 a t=1:
integral0^1 l(1 + 6t + 23t^2r),dt = l[t + 3t^2 + tfrac233t^3r]0^1 = 1 + 3 + tfrac233 = tfrac353

Resposta

integralC z^2,dx + x^2,dy + y^2,dz = 353

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