Questão 5. Seja
um diâmetro de uma circunferência de raio 1. Os pontos
e
são marcados numa mesma semicircunferência em relação ao diâmetro AB , de modo que o arco AD meça
e o ponto C seja o ponto médio do arco menor AD. Calcule a área delimitada entre as semirretas CB e CD e interna à circunferência.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Temos uma circunferência de raio
. -
é um diâmetro; sem perda de generalidade, os pontos do diâmetro são diametralmente opostos. - Os pontos
e estão numa mesma semicircunferência em relação ao diâmetro . - O arco
(o arco menor entre e ) mede . - O ponto
é o ponto médio do arco menor . Logo o arco mede e o arco mede . - O enunciado pede: calcular a área delimitada entre as semirretas
e e interna à circunferência. Ou seja, a região interna à circunferência cuja fronteira é formada pelas semirretas que saem de indo a e a e pelo arco da circunferência entre e .
Passo 2
Identificar medidas de arcos e ângulos úteis.
- Como
e são extremidades de um diâmetro, podemos situar os ângulos ao longo da semicircunferência que contém e . Sem desenhar numericamente, já sabemos as medidas relativas: - arco
, - arco
, - portanto o arco
(dado).
- arco
- O arco entre
e (o menor arco que não contém ) tem medida: começando em (suponha ) até (que está a partir de ), percebe-se que o arco tem medida . (Explicação prática: a semicircunferência inteira é . Se está em uma extremidade e fica a do outro extremo, o arco restante até é .) - O ângulo inscrito
subtende o arco . Pela propriedade do ângulo inscrito, o ângulo inscrito vale metade da medida do arco que intercepta. Então
Passo 3
Desenho mental da região e decomposição em partes fáceis de calcular.
- A região pedida (chame-a de
) tem fronteira formada pelas duas semirretas e e pelo arco . - Essa região pode ser vista como a união de:
- o triângulo
(a área entre as semirretas e o segmento ), e - o segmento circular limitado pelo arco
e pelo corda (a parte da circunferência além do segmento até o arco).
- o triângulo
- Logo
Passo 4
Calcular a área do triângulo
por um método trigonométrico.
- Fórmula útil: a área de um triângulo com dois lados
e e ângulo entre eles é onde e são comprimentos dos lados e o ângulo entre eles. - No nosso
, os lados a partir de são e , e o ângulo entre eles é . - Comprimentos de cordas em uma circunferência de raio
: se dois pontos estão separados por um ângulo central (em graus ou radianos), a corda entre eles tem comprimento - Aqui:
- o ângulo central entre
e é (diferença de posições ao longo da circunferência), então - o ângulo central entre
e é , então
- o ângulo central entre
- Aplicando a fórmula da área do triângulo:
Simplificando: - Usando identidades trigonométricas:
e a identidade com dá . Portanto - Observação final:
, então a área do triângulo fica Usando de novo com , temos ; logo
Passo 5
Calcular a área do segmento circular correspondente ao arco
.
- Para uma circunferência de raio
, a área do setor central correspondente a um arco de ângulo (em radianos) é . - O segmento circular (a parte entre o arco e a corda) tem área igual à área do setor correspondente menos a área do triângulo isósceles formado pelos dois raios e a corda.
- Aqui o arco
tem medida , que em radianos é . - A área do setor
é . - A área do triângulo isósceles
(dois lados raio e ângulo entre eles ) é . Note que . - Assim a área do segmento circular sobre
é
Passo 6
Somar as duas parcelas e simplificar.
- A área total da região pedida é
- Note que os termos com
se cancelam: ]
Passo 7
Comentário rápido para fixar a ideia (resumo do porquê do cancelamento trigonométrico).
- O cancelamento acontece porque a área do triângulo
resultou exatamente , enquanto o segmento circular tinha um termo subtrativo . Isso decorre das identidades , e que ligam os comprimentos das cordas aos ângulos centrais presentes no enunciado.