Questão 5. Seja A B um diâmetro de uma circunferência de raio 1. Os pontos C e D são marcados numa mesma semicircunferência em relação ao diâmetro AB , de modo que o arco AD meça 36^{\circ} e o ponto C seja o ponto médio do arco menor AD. Calcule a área delimitada entre as semirretas CB e CD e interna à circunferência.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Temos uma circunferência de raio 1.
  • A B é um diâmetro; sem perda de generalidade, os pontos do diâmetro são diametralmente opostos.
  • Os pontos C e D estão numa mesma semicircunferência em relação ao diâmetro A B.
  • O arco \widehat{AD} (o arco menor entre A e D) mede 36^\circ.
  • O ponto C é o ponto médio do arco menor \widehat{AD}. Logo o arco \widehat{AC} mede 18^\circ e o arco \widehat{CD} mede 18^\circ.
  • O enunciado pede: calcular a área delimitada entre as semirretas CB e CD e interna à circunferência. Ou seja, a região interna à circunferência cuja fronteira é formada pelas semirretas que saem de C indo a B e a D e pelo arco da circunferência entre B e D.

Passo 2

Identificar medidas de arcos e ângulos úteis.
  • Como A e B são extremidades de um diâmetro, podemos situar os ângulos ao longo da semicircunferência que contém C e D. Sem desenhar numericamente, já sabemos as medidas relativas:
    • arco \widehat{AC}=18^\circ,
    • arco \widehat{CD}=18^\circ,
    • portanto o arco \widehat{AD}=36^\circ (dado).
  • O arco entre B e D (o menor arco que não contém C) tem medida: começando em B (suponha 0^\circ) até D (que está 36^\circ a partir de A), percebe-se que o arco \widehat{BD} tem medida 144^\circ. (Explicação prática: a semicircunferência inteira é 180^\circ. Se A está em uma extremidade e D fica a 36^\circ do outro extremo, o arco restante até B é 180^\circ-36^\circ=144^\circ.)
  • O ângulo inscrito \angle BCD subtende o arco \widehat{BD}. Pela propriedade do ângulo inscrito, o ângulo inscrito vale metade da medida do arco que intercepta. Então \angle BCD = \tfrac{1}{2}\cdot 144^\circ = 72^\circ.

Passo 3

Desenho mental da região e decomposição em partes fáceis de calcular.
  • A região pedida (chame-a de R) tem fronteira formada pelas duas semirretas CB e CD e pelo arco \widehat{BD}.
  • Essa região pode ser vista como a união de:
    1. o triângulo \triangle CBD (a área entre as semirretas e o segmento BD), e
    2. o segmento circular limitado pelo arco \widehat{BD} e pelo corda BD (a parte da circunferência além do segmento BD até o arco).
  • Logo \text{Area}(R)=\text{Area}(\triangle CBD)+\text{Area do segmento circular sobre }\widehat{BD}.

Passo 4

Calcular a área do triângulo \triangle CBD por um método trigonométrico.
  • Fórmula útil: a área de um triângulo com dois lados a e b e ângulo entre eles \gamma é \text{Area}=\tfrac{1}{2}ab\sin\gamma,onde a e b são comprimentos dos lados e \gamma o ângulo entre eles.
  • No nosso \triangle CBD, os lados a partir de C são CB e CD, e o ângulo entre eles é \angle BCD=72^\circ.
  • Comprimentos de cordas em uma circunferência de raio 1: se dois pontos estão separados por um ângulo central \theta (em graus ou radianos), a corda entre eles tem comprimento \text{corda}=2\sin\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr).
  • Aqui:
    • o ângulo central entre C e B é 162^\circ (diferença de posições ao longo da circunferência), então CB = 2\sin\!\bigl(\tfrac{162^\circ}{2}\bigr)=2\sin81^\circ.
    • o ângulo central entre C e D é 18^\circ, então CD = 2\sin\!\bigl(\tfrac{18^\circ}{2}\bigr)=2\sin9^\circ.
  • Aplicando a fórmula da área do triângulo: \text{Area}(\triangle CBD)=\tfrac{1}{2}\cdot CB\cdot CD\cdot\sin(72^\circ) =\tfrac{1}{2}\cdot(2\sin81^\circ)\cdot(2\sin9^\circ)\cdot\sin72^\circ.Simplificando: \text{Area}(\triangle CBD)=2\sin81^\circ\sin9^\circ\sin72^\circ.
  • Usando identidades trigonométricas: \sin81^\circ=\cos9^\circ e a identidade \sin(2x)=2\sin x\cos x com x=9^\circ \sin18^\circ=2\sin9^\circ\cos9^\circ. Portanto 2\sin81^\circ\sin9^\circ\sin72^\circ = (2\cos9^\circ\sin9^\circ)\sin72^\circ = \sin18^\circ\sin72^\circ.
  • Observação final: \sin72^\circ=\cos18^\circ, então a área do triângulo fica \text{Area}(\triangle CBD)=\sin18^\circ\cos18^\circ.Usando de novo \sin(2x)=2\sin x\cos x com x=18^\circ, temos \sin36^\circ=2\sin18^\circ\cos18^\circ; logo \text{Area}(\triangle CBD)=\tfrac{1}{2}\sin36^\circ.

Passo 5

Calcular a área do segmento circular correspondente ao arco \widehat{BD}.
  • Para uma circunferência de raio 1, a área do setor central correspondente a um arco de ângulo \theta (em radianos) é \tfrac{1}{2}\theta.
  • O segmento circular (a parte entre o arco e a corda) tem área igual à área do setor correspondente menos a área do triângulo isósceles formado pelos dois raios e a corda.
  • Aqui o arco \widehat{BD} tem medida \theta=144^\circ, que em radianos é \theta=\tfrac{4\pi}{5}.
  • A área do setor BOD é \tfrac{1}{2}\theta=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{4\pi}{5}=\tfrac{2\pi}{5}.
  • A área do triângulo isósceles BOD (dois lados raio 1 e ângulo entre eles \theta) é \tfrac{1}{2}\sin\theta=\tfrac{1}{2}\sin144^\circ. Note que \sin144^\circ=\sin36^\circ.
  • Assim a área do segmento circular sobre \widehat{BD} é \text{Area(segmento)}=\tfrac{1}{2}\theta-\tfrac{1}{2}\sin\theta =\tfrac{1}{2}\Bigl(\tfrac{4\pi}{5}-\sin144^\circ\Bigr) =\tfrac{1}{2}\Bigl(\tfrac{4\pi}{5}-\sin36^\circ\Bigr).

Passo 6

Somar as duas parcelas e simplificar.
  • A área total da região pedida é \begin{aligned} \text{Area}(R) &=\text{Area}(\triangle CBD)+\text{Area(segmento)}\\[4pt] &=\tfrac{1}{2}\sin36^\circ \;+\; \tfrac{1}{2}\Bigl(\tfrac{4\pi}{5}-\sin36^\circ\Bigr). \end{aligned}
  • Note que os termos com \sin36^\circ se cancelam: \text{Area}(R)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{4\pi}{5}=\tfrac{2\pi}{5}.]

Passo 7

Comentário rápido para fixar a ideia (resumo do porquê do cancelamento trigonométrico).
  • O cancelamento acontece porque a área do triângulo \triangle CBD resultou exatamente \tfrac{1}{2}\sin36^\circ, enquanto o segmento circular tinha um termo subtrativo -\tfrac{1}{2}\sin36^\circ. Isso decorre das identidades \sin81^\circ=\cos9^\circ, \sin18^\circ=2\sin9^\circ\cos9^\circ e \sin72^\circ=\cos18^\circ que ligam os comprimentos das cordas aos ângulos centrais presentes no enunciado.

Resposta

\dfrac{2\pi}{5}

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