Questão 4. Seja
um triângulo acutângulo de área 1. Seja
um ponto variável no lado
. Sejam
e
os circuncentros de
e
, respectivamente.
A. Prove que os triângulos
e
são semelhantes.
B. Calcule a área mínima do triângulo XYZ .
A. Prove que os triângulos
B. Calcule a área mínima do triângulo XYZ .
Passo 1
Vou esclarecer o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto.
-
Dados:
-
é um triângulo acutângulo com área . -
é um ponto variável sobre o lado . -
é o circuncentro do triângulo (ou seja, o centro da circunferência que passa por ). -
é o circuncentro do triângulo .
-
-
Perguntas:
- (A) Provar que os triângulos
e são semelhantes. - (B) Calcular a área mínima do triângulo
quando varia ao longo de .
- (A) Provar que os triângulos
Observações úteis que já temos do enunciado sem iniciar a resolução:
- Como
é o circuncentro de , vale . - Como
é o circuncentro de , vale . - O triângulo é acutângulo, então o pé da altura de
em fica dentro do segmento (isso garante que a posição que vamos usar para minimizar esteja dentro do segmento).
Passo 2
Identificar relações geométricas básicas entre
e
.
-
Como
e , os pontos e são equidistantes de e . Logo ambos pertencem à mediatriz de . -
Consequência: a reta
é justamente a mediatriz de . Em particular, epassa pelo ponto médio de . -
Analogamente,
pertence à mediatriz de (porque ) e pertence à mediatriz de (porque ). Essas observações vão ajudar a relacionar ângulos mais à frente.
(Até aqui: montamos as propriedades de equilidistância e perpendicularidade que usaremos para comparar ângulos.)
Passo 3
Mostrar que
. Isso fornece um dos pares de ângulos correspondentes da semelhança.
-
Note que em
temos , logo é isósceles; portanto os ângulos da base são iguais: Em outras palavras, o ângulo entree vale o ângulo entre e . -
De forma análoga, em
temos , logo isto é, o ângulo entree vale o ângulo entre e . -
Agora escrevemos o ângulo
(ângulo no vértice do triângulo ) como soma de dois ângulos adjacentes: Usando as igualdades dos triângulos isósceles acima:Ou seja, -
Agora vamos relacionar
com . Para isso, note que: - Em
(circuncentrada em ), o ângulo central subtendido por é e o ângulo inscrito que subtende o mesmo arco (o ângulo em ) é . Portanto . Assim o ângulo na base do isósceles em vale - De modo análogo, em
(circuncentrada em ) obtemos
- Em
-
Então, escrevendo
como soma: substituindo as expressões acima:(a última subtração deé apenas para organizar sinais; mais diretamente, pode-se somar , e com os valores .) -
Observação crucial: como
está sobre a reta , os raios e são colineares e apontam em direções opostas; isto implica que os ângulos e são suplementares, i.e. Portanto os termos come se cancelam na soma para , ficando simplesmente -
Concluímos, combinando com o resultado anterior, que
Passo 4
Estender o argumento para os outros dois pares de ângulos e concluir a semelhança.
- Pelo mesmo raciocínio, trocando papéis de
e , ou escrevendo argumentos análogos em torno dos vértices e , obtemos: - Portanto todos os ângulos correspondentes são iguais, ou seja os triângulos
e são semelhantes. Concluímos a parte (A).
(Resumo da ideia: usamos os fatos de isoscelia formados pelos circuncentros e que
está sobre
, tornando
e
suplementares, para igualar os ângulos correspondentes.)
Passo 5
Expressar a razão de semelhança e a área de
em função de um ângulo conveniente.
- Pela semelhança
, existe um número tal que Como pelo enunciado, temos - Determinemos
por exemplo com os lados correspondentes e . Note que é o raio da circunferência circunscrita a , isto é, é o raio do triângulo . Pela lei dos senos em , Assim - Logo
onde, para abreviar, escrevemos .
Passo 6
Relacionar
com a altura do triângulo
e a distância
(essa relação permitirá a minimização).
- Seja
o pé da altura do vértice sobre a reta . A altura é a distância de à reta ; denotemos . - Como
está em , o triângulo é retângulo em . Observe que é justamente o ângulo do triângulo formado por e (lembre que é colinear com ). Assim, no triângulo retângulo temos, pela trigonometria: - Substituindo na fórmula obtida no Passo 5:
Passo 7
Minimizar a área
usando a expressão obtida.
-
Na expressão
fixamos (altura de em relação a é fixa pois o triângulo é fixo). Assim minimizar é equivalente a minimizar , i.e. minimizar . -
O ponto
varia ao longo do segmento . A menor distância de a um ponto de é, evidentemente, a distância ao pé da perpendicular ; isto é, o valor mínimo de ocorre quando e então . -
Substituindo
na expressão da área: -
Observação final sobre existência: o triângulo foi dado acutângulo, logo o pé da altura
está dentro do segmento , portanto a posição é admissível e a área mínima é realmente atingida para um no segmento .
Resposta
A. Os triângulos
e
são semelhantes.
B. A área mínima de é
, obtida quando
é o pé da altura de
sobre
.
B. A área mínima de