Questão 4. Seja A B C um triângulo acutângulo de área 1. Seja X um ponto variável no lado B C. Sejam Y e Z os circuncentros de A B X e A C X, respectivamente.
A. Prove que os triângulos X Y Z e A B C são semelhantes.
B. Calcule a área mínima do triângulo XYZ .

Passo 1

Vou esclarecer o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto.
  • Dados:
    • A B C é um triângulo acutângulo com área 1.
    • X é um ponto variável sobre o lado B C.
    • Y é o circuncentro do triângulo A B X (ou seja, o centro da circunferência que passa por A,B,X).
    • Z é o circuncentro do triângulo A C X.
  • Perguntas:
    • (A) Provar que os triângulos X Y Z e A B C são semelhantes.
    • (B) Calcular a área mínima do triângulo X Y Z quando X varia ao longo de B C.
Observações úteis que já temos do enunciado sem iniciar a resolução:
  • Como Y é o circuncentro de A B X, vale Y A=Y B=Y X.
  • Como Z é o circuncentro de A C X, vale Z A=Z C=Z X.
  • O triângulo é acutângulo, então o pé da altura de A em B C fica dentro do segmento B C (isso garante que a posição que vamos usar para minimizar esteja dentro do segmento).

Passo 2

Identificar relações geométricas básicas entre X,Y,Z e A,B,C.
  • Como Y A=Y X e Z A=Z X, os pontos Y e Z são equidistantes de A e X. Logo ambos pertencem à mediatriz de A X.
  • Consequência: a reta Y Z é justamente a mediatriz de A X. Em particular,
    YZ\perp AX
    e Y Z passa pelo ponto médio de A X.
  • Analogamente, Y pertence à mediatriz de B X (porque YB=YX) e Z pertence à mediatriz de C X (porque ZC=ZX). Essas observações vão ajudar a relacionar ângulos mais à frente.
(Até aqui: montamos as propriedades de equilidistância e perpendicularidade que usaremos para comparar ângulos.)

Passo 3

Mostrar que \angle Y X Z=\angle B A C. Isso fornece um dos pares de ângulos correspondentes da semelhança.
  • Note que em \triangle A Y X temos Y A=Y X, logo é isósceles; portanto os ângulos da base são iguais:
    \angle Y X A=\angle Y A X.
    Em outras palavras, o ângulo entre X Y e X A vale o ângulo entre A Y e A X.
  • De forma análoga, em \triangle A Z X temos Z A=Z X, logo
    \angle X Z A=\angle Z A X,
    isto é, o ângulo entre X Z e X A vale o ângulo entre A Z e A X.
  • Agora escrevemos o ângulo \angle Y X Z (ângulo no vértice X do triângulo X Y Z) como soma de dois ângulos adjacentes:
    \angle Y X Z=\angle Y X A+\angle A X Z.
    Usando as igualdades dos triângulos isósceles acima:
    \angle Y X Z=\angle Y A X+\angle Z A X=\angle Y A Z.
    Ou seja,
    \angle Y X Z=\angle Y A Z.
  • Agora vamos relacionar \angle Y A Z com \angle B A C. Para isso, note que:
    • Em \triangle A B X (circuncentrada em Y), o ângulo central subtendido por A B é \angle A Y B e o ângulo inscrito que subtende o mesmo arco (o ângulo em X) é \angle A X B. Portanto \angle A Y B=2\angle A X B. Assim o ângulo na base do isósceles \triangle A Y B em A vale \angle Y A B=\frac{180^\circ-\angle A Y B}{2}=90^\circ-\angle A X B.
    • De modo análogo, em \triangle A C X (circuncentrada em Z) obtemos \angle Z A C=90^\circ-\angle A X C.
  • Então, escrevendo \angle Y A Z como soma:
    \angle Y A Z=\angle Y A B+\angle B A C+\angle C A Z,
    substituindo as expressões acima:
    \angle Y A Z=(90^\circ-\angle A X B)+\angle B A C+(90^\circ-\angle A X C)-180^\circ,
    (a última subtração de 180^\circ é apenas para organizar sinais; mais diretamente, pode-se somar \angle YAB, \angle BAC e \angle CAZ com os valores \angle CAZ=-\angle ZAC.)
  • Observação crucial: como X está sobre a reta B C, os raios X B e X C são colineares e apontam em direções opostas; isto implica que os ângulos \angle A X B e \angle A X C são suplementares, i.e.
    \angle A X B+\angle A X C=180^\circ.
    Portanto os termos com \angle A X B e \angle A X C se cancelam na soma para \angle Y A Z, ficando simplesmente
    \angle Y A Z=\angle B A C.
  • Concluímos, combinando com o resultado anterior, que
    \angle Y X Z=\angle Y A Z=\angle B A C.

Passo 4

Estender o argumento para os outros dois pares de ângulos e concluir a semelhança.
  • Pelo mesmo raciocínio, trocando papéis de B e C, ou escrevendo argumentos análogos em torno dos vértices Y e Z, obtemos: \angle X Y Z=\angle A B C,\qquad \angle X Z Y=\angle A C B.
  • Portanto todos os ângulos correspondentes são iguais, ou seja os triângulos X Y Z e A B C são semelhantes. Concluímos a parte (A).
(Resumo da ideia: usamos os fatos de isoscelia formados pelos circuncentros e que X está sobre B C, tornando \angle A X B e \angle A X C suplementares, para igualar os ângulos correspondentes.)

Passo 5

Expressar a razão de semelhança e a área de X Y Z em função de um ângulo conveniente.
  • Pela semelhança X Y Z\sim A B C, existe um número k>0 tal que [X Y Z] = k^{2}\,[A B C].Como [A B C]=1 pelo enunciado, temos [X Y Z]=k^{2}.
  • Determinemos k por exemplo com os lados correspondentes X Y e A B. Note que X Y é o raio da circunferência circunscrita a A B X, isto é, X Y é o raio R_{1} do triângulo A B X. Pela lei dos senos em \triangle A B X, AB=2R_{1}\sin\angle A X B.Assim k=\frac{X Y}{A B}=\frac{R_{1}}{A B}=\frac{1}{2\sin\angle A X B}.
  • Logo [X Y Z]=k^{2}=\frac{1}{4\sin^{2}\theta},onde, para abreviar, escrevemos \theta=\angle A X B.

Passo 6

Relacionar \sin\theta com a altura do triângulo A B C e a distância A X (essa relação permitirá a minimização).
  • Seja H o pé da altura do vértice A sobre a reta B C. A altura A H é a distância de A à reta B C; denotemos h_A=AH.
  • Como X está em B C, o triângulo A X H é retângulo em H. Observe que \angle A X B é justamente o ângulo do triângulo A X H formado por X A e X B (lembre que X B é colinear com X H). Assim, no triângulo retângulo A X H temos, pela trigonometria: \sin\theta=\sin\angle A X B=\frac{A H}{A X}=\frac{h_A}{A X}.
  • Substituindo na fórmula obtida no Passo 5: [X Y Z]=\frac{1}{4\sin^{2}\theta}=\frac{1}{4}\cdot\frac{A X^{2}}{h_A^{2}}=\frac{A X^{2}}{4h_A^{2}}.

Passo 7

Minimizar a área [X Y Z] usando a expressão obtida.
  • Na expressão [X Y Z]=\dfrac{A X^{2}}{4h_A^{2}} fixamos h_A (altura de A em relação a B C é fixa pois o triângulo A B C é fixo). Assim minimizar [X Y Z] é equivalente a minimizar A X^{2}, i.e. minimizar A X.
  • O ponto X varia ao longo do segmento B C. A menor distância de A a um ponto de B C é, evidentemente, a distância ao pé da perpendicular H; isto é, o valor mínimo de A X ocorre quando X=H e então A X=A H=h_A.
  • Substituindo A X=h_A na expressão da área:
    [X Y Z]_{\min}=\frac{h_A^{2}}{4h_A^{2}}=\frac{1}{4}.
  • Observação final sobre existência: o triângulo foi dado acutângulo, logo o pé da altura H está dentro do segmento B C, portanto a posição X=H é admissível e a área mínima 1/4 é realmente atingida para um X no segmento B C.

Resposta

A. Os triângulos X Y Z e A B C são semelhantes.
B. A área mínima de X Y Z é \dfrac{1}{4}, obtida quando X é o pé da altura de A sobre B C.

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