Questão 4
Seja
uma função duas vezes diferenciável tal que
é o único ponto crítico de
.
Sabendo que
e
, classifique o ponto crítico
quanto a máximo local, mínimo local ou sela.
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique o ponto crítico
da função
como máximo local, mínimo local ou sela. As informações dadas são:
-
é o único ponto crítico de (ou seja, em o gradiente de se anula). - As segundas derivadas parciais em
são , e .
Passo 2
Definição e ideia útil: quando temos um ponto crítico (gradiente nulo), a natureza desse ponto pode ser determinada pelo comportamento da forma quadrática dada pelas segundas derivadas — isto é, pelo Hessiano em
. Vou explicar o que é o Hessiano e como ele aparece no desenvolvimento em série (Taylor) até segunda ordem.
Se
, o desenvolvimento de Taylor de segunda ordem de
em torno de
para um deslocamento
(com
pequeno deslocamento em
e
em
) é aproximadamente
O termo quadrático
é o que decide se o ponto é mínimo (se
é positiva para todo
), máximo (se
é negativa para todo
) ou sela (se
toma sinais opostos).
Passo 3
Construo o Hessiano
em
usando as segundas derivadas dadas. O Hessiano é a matriz simétrica das segundas derivadas:
Para matrizes
existe um teste simples: calcule o determinante
e observe o sinal de
e de
.]
Passo 4
Calculo
com os valores fornecidos:
Portanto
. Além disso
.
Passo 5
Interpretação do teste (Sylvester para
, explicação didática): para uma matriz Hessiana
,
- se
e então o Hessiano é definida positiva e o ponto crítico é um mínimo local; - se
e então o Hessiano é definida negativa e o ponto crítico é um máximo local; - se
então o Hessiano tem sinais mistos (autovalores com sinais diferentes) e o ponto crítico é uma sela; - se
o teste é inconclusivo.
No nosso caso já vimos que
e
, então estamos na primeira situação: Hessiano definido positivo → mínimo local.
Passo 6
Para reforçar a intuição, escrevo explicitamente a forma quadrática do Passo 2 com os números:
Faço uma conclusão por completar quadrado: note que
Ambos os termos do lado direito são não-negativos e só simultaneamente zero quando
e
, o que força
. Logo
para todo
, o que confirma que o Hessiano é definida positiva e que
é um mínimo local. (Isto dá a mesma conclusão do passo anterior, mas com uma verificação explícita da positividade da forma quadrática.)
Resposta
Mínimo local