Questão 4

Seja \ell: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função duas vezes diferenciável tal que P=(3,5) é o único ponto crítico de \ell.
Sabendo que \ell_{x x}(P)=2, \ell_{y y}(P)=5 e \ell_{x y}(P)=-1, classifique o ponto crítico P quanto a máximo local, mínimo local ou sela.

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique o ponto crítico P=(3,5) da função \ell:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} como máximo local, mínimo local ou sela. As informações dadas são:
  • P=(3,5) é o único ponto crítico de \ell (ou seja, em P o gradiente de \ell se anula).
  • As segundas derivadas parciais em P são \ell_{x x}(P)=2, \ell_{y y}(P)=5 e \ell_{x y}(P)=-1.

Passo 2

Definição e ideia útil: quando temos um ponto crítico (gradiente nulo), a natureza desse ponto pode ser determinada pelo comportamento da forma quadrática dada pelas segundas derivadas — isto é, pelo Hessiano em P. Vou explicar o que é o Hessiano e como ele aparece no desenvolvimento em série (Taylor) até segunda ordem.
Se \nabla \ell(P)=0, o desenvolvimento de Taylor de segunda ordem de \ell em torno de P para um deslocamento (h,k) (com h pequeno deslocamento em x e k em y) é aproximadamente
\ell(P+(h,k)) \approx \ell(P) + \frac{1}{2}\bigl(\ell_{x x}(P) h^{2} + 2\ell_{x y}(P) h k + \ell_{y y}(P) k^{2}\bigr).
O termo quadrático
Q(h,k)=\frac{1}{2}\bigl(\ell_{x x}(P) h^{2} + 2\ell_{x y}(P) h k + \ell_{y y}(P) k^{2}\bigr)
é o que decide se o ponto é mínimo (se Q é positiva para todo (h,k)\neq(0,0)), máximo (se Q é negativa para todo (h,k)\neq(0,0)) ou sela (se Q toma sinais opostos).

Passo 3

Construo o Hessiano H em P usando as segundas derivadas dadas. O Hessiano é a matriz simétrica das segundas derivadas:
H=\begin{pmatrix} \ell_{x x}(P) & \ell_{x y}(P)\\[4pt] \ell_{x y}(P) & \ell_{y y}(P) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1\\[4pt] -1 & 5 \end{pmatrix}.
Para matrizes 2\times2 existe um teste simples: calcule o determinante
D=\det(H)=\ell_{x x}(P)\,\ell_{y y}(P)-\bigl(\ell_{x y}(P)\bigr)^{2}
e observe o sinal de \ell_{x x}(P) e de D.]

Passo 4

Calculo D com os valores fornecidos:
D = 2\cdot 5 - (-1)^{2} = 10 - 1 = 9.
Portanto D=9>0. Além disso \ell_{x x}(P)=2>0.

Passo 5

Interpretação do teste (Sylvester para 2\times2, explicação didática): para uma matriz Hessiana 2\times2,
  • se D>0 e \ell_{x x}(P)>0 então o Hessiano é definida positiva e o ponto crítico é um mínimo local;
  • se D>0 e \ell_{x x}(P)<0 então o Hessiano é definida negativa e o ponto crítico é um máximo local;
  • se D<0 então o Hessiano tem sinais mistos (autovalores com sinais diferentes) e o ponto crítico é uma sela;
  • se D=0 o teste é inconclusivo.
No nosso caso já vimos que D=9>0 e \ell_{x x}(P)=2>0, então estamos na primeira situação: Hessiano definido positivo → mínimo local.

Passo 6

Para reforçar a intuição, escrevo explicitamente a forma quadrática do Passo 2 com os números:
Q(h,k)=\frac{1}{2}\bigl(2h^{2} + 2(-1)hk + 5k^{2}\bigr)=h^{2}-hk+\tfrac{5}{2}k^{2}.
Faço uma conclusão por completar quadrado: note que
h^{2}-hk+\tfrac{5}{2}k^{2}=(h-\tfrac{1}{2}k)^{2}+\tfrac{9}{4}k^{2}.
Ambos os termos do lado direito são não-negativos e só simultaneamente zero quando k=0 e h-\tfrac{1}{2}k=0, o que força h=0. Logo Q(h,k)>0 para todo (h,k)\neq(0,0), o que confirma que o Hessiano é definida positiva e que P é um mínimo local. (Isto dá a mesma conclusão do passo anterior, mas com uma verificação explícita da positividade da forma quadrática.)

Resposta

Mínimo local

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