Questão 3
Seja
uma função dada por
.
(a) Determine todos os pontos críticos de
.
(b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
em cada ponto crítico de
.
(a) Determine todos os pontos críticos de
(b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
As perguntas são:
(1) Determine todos os pontos críticos de .\n
(2) Para cada ponto crítico encontrado, determine a equação do plano tangente ao gráfico de nesse ponto.
(1) Determine todos os pontos críticos de
(2) Para cada ponto crítico encontrado, determine a equação do plano tangente ao gráfico de
Informações relevantes dadas:
Não há mais dados ocultos: estamos trabalhando no gráfico da função
.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Primeiro explico a regra que vou usar: quando temos uma função composta do tipo
, a derivada parcial de
em relação a
é dada pela derivada da exponencial vezes a derivada parcial de
(regra da cadeia). Ou seja,
e de forma análoga
Agora calculamos
e
. Como
temos que diferenciar termo a termo:
Portanto, as derivadas parciais de
são
Passo 3
Ponto crítico é ponto onde o gradiente é nulo, isto é, onde as duas derivadas parciais são zero simultaneamente. Assim devemos resolver o sistema
Observação importante (que facilita muito): o fator
é sempre positivo para todo
(pois a exponencial nunca é zero). Logo podemos dividir por esse fator sem perder soluções; as equações são equivalentes a
Da segunda equação obtemos imediatamente
Substituindo
na primeira:
Passo 4
Concluímos que existe um único ponto crítico, que é
Agora calculemos o valor de
nesse ponto (isso será útil para o plano tangente). Como
temos
Passo 5
Fórmula do plano tangente: para o gráfico
, o plano tangente no ponto
é
No nosso ponto crítico
já sabemos que as derivadas parciais são zero (essa foi a condição de ponto crítico). Explicitamente,
Substituindo na fórmula do plano tangente:
Portanto o plano tangente é o plano horizontal de equação
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)