Questão 3

Seja h: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função dada por h(x, y)=5 \mathrm{e}^{x^{2}+3 x y+x}.
(a) Determine todos os pontos críticos de h.
(b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de h em cada ponto crítico de h.

Passo 1

O enunciado dá a função h: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} definida por
h(x,y)=5\mathrm{e}^{x^{2}+3xy+x}.
As perguntas são:
(1) Determine todos os pontos críticos de h.\n
(2) Para cada ponto crítico encontrado, determine a equação do plano tangente ao gráfico de h nesse ponto.
Informações relevantes dadas:
h(x,y)=5\mathrm{e}^{E(x,y)}\quad\text{com}\quad E(x,y)=x^{2}+3xy+x.
Não há mais dados ocultos: estamos trabalhando no gráfico da função z=h(x,y).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de h. Primeiro explico a regra que vou usar: quando temos uma função composta do tipo h(x,y)=5\mathrm{e}^{E(x,y)}, a derivada parcial de h em relação a x é dada pela derivada da exponencial vezes a derivada parcial de E (regra da cadeia). Ou seja,
\frac{\partial h}{\partial x}=5\mathrm{e}^{E(x,y)}\cdot \frac{\partial E}{\partial x},
e de forma análoga
\frac{\partial h}{\partial y}=5\mathrm{e}^{E(x,y)}\cdot \frac{\partial E}{\partial y}.
Agora calculamos \frac{\partial E}{\partial x} e \frac{\partial E}{\partial y}. Como
E(x,y)=x^{2}+3xy+x,
temos que diferenciar termo a termo:
\frac{\partial E}{\partial x}=2x+3y+1,
\frac{\partial E}{\partial y}=3x.
Portanto, as derivadas parciais de h são
\frac{\partial h}{\partial x}=5\mathrm{e}^{E(x,y)}(2x+3y+1),
\frac{\partial h}{\partial y}=5\mathrm{e}^{E(x,y)}(3x).

Passo 3

Ponto crítico é ponto onde o gradiente é nulo, isto é, onde as duas derivadas parciais são zero simultaneamente. Assim devemos resolver o sistema
\frac{\partial h}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial h}{\partial y}=0.
Observação importante (que facilita muito): o fator 5\mathrm{e}^{E(x,y)} é sempre positivo para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2 (pois a exponencial nunca é zero). Logo podemos dividir por esse fator sem perder soluções; as equações são equivalentes a
2x+3y+1=0,
3x=0.
Da segunda equação obtemos imediatamente
x=0.
Substituindo x=0 na primeira:
2\cdot 0 + 3y + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3y+1=0 \quad\Rightarrow\quad y=-\frac{1}{3}.

Passo 4

Concluímos que existe um único ponto crítico, que é
\bigl(0,-\tfrac{1}{3}\bigr).
Agora calculemos o valor de h nesse ponto (isso será útil para o plano tangente). Como
E(0,-\tfrac{1}{3})=0^{2}+3\cdot0\cdot\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)+0=0,
temos
h\bigl(0,-\tfrac{1}{3}\bigr)=5\mathrm{e}^{0}=5.

Passo 5

Fórmula do plano tangente: para o gráfico z=h(x,y), o plano tangente no ponto \bigl(x_{0},y_{0},h(x_{0},y_{0})\bigr) é
z=h(x_{0},y_{0})+\frac{\partial h}{\partial x}(x_{0},y_{0})\bigl(x-x_{0}\bigr)+\frac{\partial h}{\partial y}(x_{0},y_{0})\bigl(y-y_{0}\bigr).
No nosso ponto crítico \bigl(0,-\tfrac{1}{3}\bigr) já sabemos que as derivadas parciais são zero (essa foi a condição de ponto crítico). Explicitamente,
\frac{\partial h}{\partial x}\bigl(0,-\tfrac{1}{3}\bigr)=0,\qquad \frac{\partial h}{\partial y}\bigl(0,-\tfrac{1}{3}\bigr)=0.
Substituindo na fórmula do plano tangente:
z=h\bigl(0,-\tfrac{1}{3}\bigr)+0\cdot (x-0)+0\cdot\bigl(y+\tfrac{1}{3}\bigr)=h\bigl(0,-\tfrac{1}{3}\bigr)=5.
Portanto o plano tangente é o plano horizontal de equação
z=5.

Resposta

(a) \bigl(0,-\tfrac{1}{3}\bigr)\n
(b) z=5

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